Dada
por
em que as bases
e
, calcule a matriz associada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear
que pega vetores do espaço
com a base
e os transforma em vetores no espaço
com a base
. A transformação é dada por
. Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação entre essas duas bases. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação
a cada vetor da base
. A base
é composta pelos vetores
e
.
-
Aplicando
a : -
Aplicando
a :
Passo 3
Agora, precisamos expressar os resultados
e
na base
. Isso significa que queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
-
Para
: Resolvendo:Somando as duas equações:Substituindona primeira equação: Então,. -
Para
: Resolvendo:Somando as duas equações:Substituindona primeira equação: Então,.
Passo 4
Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz que representa a transformação
de
para
. Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes que expressam
aplicado aos vetores da base
na base
.
Resposta
A matriz associada à transformação
é: