Dada T: Rbeta1^2 longrightarrow Rbeta2^2 por T(x, y)=(2 x-y, 2 x+y) em que as bases beta1=(1,0),(0,1) e beta2=(1,1),(-1,1), calcule a matriz associada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que pega vetores do espaço com a base e os transforma em vetores no espaço com a base . A transformação é dada por . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação entre essas duas bases. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(1, 0) = (2(1) - 0, 2(1) + 0) = (2, 2) a cada vetor da base T(0, 1) = (2(0) - 1, 2(0) + 1) = (-1, 1) . A base é composta pelos vetores e .
  1. Aplicando a :
  2. Aplicando a :

Passo 3

Agora, precisamos expressar os resultados (2, 2) = a(1,1) + b(-1,1) e 2 = a - b 2 = a + b na base 4 = 2a Rightarrow a = 2 . Isso significa que queremos encontrar coeficientes 2 = 2 - b Rightarrow b = 0 e (-1, 1) = a(1,1) + b(-1,1) tais que:
  1. Para -1 = a - b 1 = a + b :
    0 = 2a Rightarrow a = 0
    Resolvendo:
    -1 = 0 - b Rightarrow b = 1
    Somando as duas equações:
    Substituindo na primeira equação:
    Então, .
  2. Para :
    Resolvendo:
    Somando as duas equações:
    Substituindo na primeira equação:
    Então, .

Passo 4

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz que representa a transformação Matriz de T = 2 & 0 0 & 1 de para . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes que expressam aplicado aos vetores da base na base .

Resposta

A matriz associada à transformação 2 & 0 0 & 1 é:

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