Dada por em que as bases e , calcule a matriz associada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que pega vetores do espaço com a base e os transforma em vetores no espaço com a base . A transformação é dada por . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação entre essas duas bases. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação a cada vetor da base . A base é composta pelos vetores e .
  1. Aplicando a :
  2. Aplicando a :

Passo 3

Agora, precisamos expressar os resultados e na base . Isso significa que queremos encontrar coeficientes e tais que:
  1. Para :
    Resolvendo:
    Somando as duas equações:
    Substituindo na primeira equação:
    Então, .
  2. Para :
    Resolvendo:
    Somando as duas equações:
    Substituindo na primeira equação:
    Então, .

Passo 4

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz que representa a transformação de para . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes que expressam aplicado aos vetores da base na base .

Resposta

A matriz associada à transformação é:

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Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
a) ; fé contínua
Mostre que o espaço é soma direta dos subespaços
Qual é a transformaçāo linear associada à matriz
(a) Se é uma matriz retângular, tal que é invertível, verifique que a matriz é uma inversa à esquerda de .
(b) Se é uma matriz retângular, tal que é invertível, verifique que a matriz é uma inversa à direita de .
© Se possível, determine uma matriz inversa à esquerda de .