14.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a soma infinita
. Esse tipo de soma pertence ao conteúdo de séries geométricas, que a gente vai usar pra resolver. Vamos precisar simplificar a expressão dentro da soma e identificar a razão da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da soma:
Isso pode ser reescrito como:
Sabemos que
, então fica:
Passo 3
Agora, vamos quebrar
:
Substituindo de volta na expressão:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, a soma original fica:
Podemos fatorar
fora da soma:
Passo 5
Reconhecemos que
é uma série geométrica com razão
. A soma de uma série geométrica infinita que começa em
é dada por:
Mas como nossa soma começa em
, ajustamos subtraindo os termos de
e
:
Substituindo
:
Passo 6
Calculando os valores:
Então, a soma da série geométrica é
.
Resposta
A soma da série é
.