14.) sumn=2^infty 3^-2 n(-6)^4-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a soma infinita . Esse tipo de soma pertence ao conteúdo de séries geométricas, que a gente vai usar pra resolver. Vamos precisar simplificar a expressão dentro da soma e identificar a razão da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da soma:
3^-2n(-6)^4-n
Isso pode ser reescrito como:
3^-2n(-6)^4 cdot (-6)^-n = 3^-2n cdot (-6)^n(-6)^4
Sabemos que 3^-2n cdot (-6)^n1296 , então fica:

Passo 3

Agora, vamos quebrar (-6)^n = (-1)^n cdot 6^n = (-1)^n cdot (2 cdot 3)^n = (-1)^n cdot 2^n cdot 3^n :
3^-2n cdot (-1)^n cdot 2^n cdot 3^n1296 = (-1)^n cdot 2^n cdot 3^-n1296
Substituindo de volta na expressão:
(-2/3)^n1296
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, a soma original fica:
sumn=2^infty (-2/3)^n1296
Podemos fatorar 11296 sumn=2^infty (-23)^n fora da soma:

Passo 5

Reconhecemos que sumn=0^infty r^n = 11 - r é uma série geométrica com razão sumn=2^infty r^n = 11 - r - 1 - r . A soma de uma série geométrica infinita que começa em 11 - (-23) - 1 - (-23) = 153 - 1 + 23 = 35 - 1 + 23 é dada por:
Mas como nossa soma começa em , ajustamos subtraindo os termos de e :
Substituindo :

Passo 6

Calculando os valores:
35 - 1 + 23 = 915 - 1515 + 1015 = 415
Então, a soma da série geométrica é .

Resposta

A soma da série é .

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