Considere a região R limitada por y=x^2, y=2 x. Calcule o valor da integral Dupla integral duplaD x y d A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região limitada pelas curvas e . Isso envolve entender integrais duplas, que servem para calcular volumes ou outras grandezas sobre áreas bidimensionais. Primeiro, precisamos identificar como essas duas curvas se comportam e onde elas se interceptam para definir os limites da nossa região .

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de interseção das curvas x^2 = 2x e x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 . Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, ou . Agora, substituímos esses valores na equação para encontrar os valores de :
  • Para :
  • Para :
    Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar a região . A curva é uma parábola que abre para cima, enquanto é uma linha reta que passa pela origem. Entre e , a reta está acima da parábola . Isso significa que, para esses valores de , varia de até .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como já identificamos os limites para integral duplaR xy , dA = integral0^2 integralx^2^2x xy , dy , dx em função de , podemos integrar primeiro em e depois em . Os limites serão:
  • varia de 0 a 2
  • Para cada , varia de a
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integralx^2^2x xy , dy :
x integralx^2^2x y , dy = x [ y^22 ]x^2^2x = x ( (2x)^22 - (x^2)^22 ) = x ( 4x^22 - x^42 ) = x ( 2x^2 - x^42 )
Aqui, é tratado como constante em relação a , então podemos integrar :
Simplificando:
[
x \cdot 2x^2 = 2x^3 \
x \cdot \left( -\frac{x^4}{2} \right) = -\frac{x^5}{2} \
Então, a integral interna resulta em:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado da integral interna em relação a integral0^2 ( 2x^3 - x^52 ) dx de 0 a 2:
2 integral0^2 x^3 , dx - 12 integral0^2 x^5 , dx
Integramos termo a termo:
2 [ x^44 ]0^2 = 2 ( 164 - 0 ) = 2 cdot 4 = 8 12 [ x^66 ]0^2 = 12 ( 646 - 0 ) = 12 cdot 646 = 326 = 163
Calculando cada integral:
8 - 163 = 243 - 163 = 83
Subtraindo os resultados:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados