Considere a região R limitada por
. Calcule o valor da integral Dupla
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
limitada pelas curvas
e
. Isso envolve entender integrais duplas, que servem para calcular volumes ou outras grandezas sobre áreas bidimensionais. Primeiro, precisamos identificar como essas duas curvas se comportam e onde elas se interceptam para definir os limites da nossa região
.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos de interseção das curvas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então,
ou
. Agora, substituímos esses valores na equação
para encontrar os valores de
:
- Para
: - Para
:
Portanto, os pontos de interseção sãoe .
Passo 3
Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar a região
. A curva
é uma parábola que abre para cima, enquanto
é uma linha reta que passa pela origem. Entre
e
, a reta
está acima da parábola
. Isso significa que, para esses valores de
,
varia de
até
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como já identificamos os limites para
em função de
, podemos integrar primeiro em
e depois em
. Os limites serão:
-
varia de 0 a 2 - Para cada
, varia de a
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui,
é tratado como constante em relação a
, então podemos integrar
:
Simplificando:
[
x \cdot 2x^2 = 2x^3 \
x \cdot \left( -\frac{x^4}{2} \right) = -\frac{x^5}{2} \
Então, a integral interna resulta em:
x \cdot 2x^2 = 2x^3 \
x \cdot \left( -\frac{x^4}{2} \right) = -\frac{x^5}{2} \
Então, a integral interna resulta em:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado da integral interna em relação a
de 0 a 2:
Integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Subtraindo os resultados:
Resposta
O valor da integral dupla
é
.