Encontre o ponto do plano x + y - 2 z = 1 mais próximo do ponto (1, 1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto no plano que está mais próximo do ponto . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre pontos e planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e encontrar as coordenadas desse ponto mais próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação do plano: 1. Nessa equação, os coeficientes de 1, -2 e ( , , e respectivamente) formam o vetor normal ao plano, que é . O vetor normal é importante porque a distância mais curta do ponto até o plano é ao longo da direção desse vetor.

Passo 3

Agora, vamos considerar o ponto dado, que é . Queremos encontrar o ponto no plano que seja o mais próximo desse ponto. Para isso, a linha que liga até deve ser paralela ao vetor normal .

Passo 4

Vamos parametrizar a reta que sai do ponto na direção do vetor normal . A equação dessa reta pode ser escrita como:
Aqui, é um parâmetro que vamos determinar.

Passo 5

Esse ponto está no plano , então substituímos as coordenadas da reta na equação do plano:
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas de :

Resposta

O ponto no plano mais próximo de é .

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