Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto no plano que está mais próximo do ponto . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre pontos e planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e encontrar as coordenadas desse ponto mais próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação do plano: . Nessa equação, os coeficientes de , e (, , e respectivamente) formam o vetor normal ao plano, que é . O vetor normal é importante porque a distância mais curta do ponto até o plano é ao longo da direção desse vetor.
Passo 3
Agora, vamos considerar o ponto dado, que é . Queremos encontrar o ponto no plano que seja o mais próximo desse ponto. Para isso, a linha que liga até deve ser paralela ao vetor normal .
Passo 4
Vamos parametrizar a reta que sai do ponto na direção do vetor normal . A equação dessa reta pode ser escrita como:
Aqui, é um parâmetro que vamos determinar.
Passo 5
Esse ponto está no plano , então substituímos as coordenadas da reta na equação do plano:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas de :