Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função , onde e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia em cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A regra da cadeia nos diz que:
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas:
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Passo 3
Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
Agora, vamos avaliar essa expressão no ponto :
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t em relação a partial xpartial t = 2s t , ou seja, partial ypartial t = s^2 .
Usando a regra da cadeia novamente:
partial zpartial t = e^x cdot sen(y) cdot 2s t + e^x cdot cos(y) cdot s^2
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas:
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Substituindo na regra da cadeia:
Passo 5
Vamos avaliar essa expressão no ponto partial zpartial tg|(0,0) = 1 cdot 0 cdot 2 cdot 0 cdot 0 + 1 cdot 1 cdot 0^2 = 0 :