z=e^x sen(y), x=s t^2 e y=s^2 t determine partial zpartial s, partial zpartial t em(s, t)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função , onde e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia em cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s em relação a partial zpartial x = e^x cdot sen(y) , ou seja, partial zpartial y = e^x cdot cos(y) .
A regra da cadeia nos diz que:
partial xpartial s = t^2
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas:
  1. Derivada de partial ypartial s = 2s t em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 3

Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
Agora, vamos avaliar essa expressão no ponto partial zpartial s = e^x cdot sen(y) cdot t^2 + e^x cdot cos(y) cdot 2s t :
  • partial zpartial sg|(0,0) = 1 cdot 0 cdot 0^2 + 1 cdot 1 cdot 2 cdot 0 cdot 0 = 0
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t em relação a partial xpartial t = 2s t , ou seja, partial ypartial t = s^2 .
Usando a regra da cadeia novamente:
partial zpartial t = e^x cdot sen(y) cdot 2s t + e^x cdot cos(y) cdot s^2
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Substituindo na regra da cadeia:

Passo 5

Vamos avaliar essa expressão no ponto partial zpartial tg|(0,0) = 1 cdot 0 cdot 2 cdot 0 cdot 0 + 1 cdot 1 cdot 0^2 = 0 :
Substituindo:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial sg|(0,0) = 0
e
partial zpartial tg|(0,0) = 0

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