Considere uma lâmina triangular definida entre as retas , e a função densidade . Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lâmina triangular definida pelas retas , e . Além disso, a densidade da lâmina varia conforme a função . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do centro de massa dessa lâmina. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa para corpos contínuos, que envolvem integração dupla para calcular momentos e massa total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar o centro de massa. As coordenadas do centro de massa são dadas por:
Aqui, é a massa total da lâmina, calculada por:
Passo 3
Vamos determinar a região onde vamos integrar. As retas que definem a lâmina são (eixo y), (eixo x) e . Isso forma um triângulo com vértices em , e . Para parametrizar a região, vamos variar de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 até .