Considere uma lâmina triangular definida entre as retas x=0, y=0, y=2-2*x, e a função densidade rho(x, y) = 1 + 2*x + y. Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lâmina triangular definida pelas retas , e . Além disso, a densidade da lâmina varia conforme a função . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do centro de massa dessa lâmina. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa para corpos contínuos, que envolvem integração dupla para calcular momentos e massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar o centro de massa. As coordenadas do centro de massa são dadas por:
Aqui, é a massa total da lâmina, calculada por:

Passo 3

Vamos determinar a região onde vamos integrar. As retas que definem a lâmina são (eixo y), (eixo x) e . Isso forma um triângulo com vértices em , e . Para parametrizar a região, vamos variar de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 até .

Passo 4

Vamos calcular a massa total :
Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando:
Agora, integramos em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Integrando em relação a :
Integramos em relação a :
Então:

Passo 6

Vamos calcular :
Expandindo a integral:
Agora, integramos em relação a :
Então:

Resposta

As coordenadas do centro de massa da lâmina são .

Exercícios relacionados