Às 14 h o velocímetro de um carro marca . Às 14 h 10 min , marca . Prove que em algum momento entre 14 h e 14 h 10 min a aceleração do carro era exatamente .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um carro que às 14h está andando a 50 km/h e, dez min depois, às 14h10, está a 65 km/h. A questão pede para provar que, em algum momento nesse intervalo de tempo, a aceleração do carro foi exatamente 90 km/h². Para resolver isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado Teorema do Valor Médio, que ajuda a encontrar pontos específicos onde uma certa condição é atendida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, ela nos diz o quanto a velocidade de um objeto está mudando a cada segundo (ou em outra unidade de tempo).

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração média do carro nesse intervalo de tempo. A aceleração média é dada pela fórmula:
é
Onde:
  • é a variação da velocidade.
  • é o intervalo de tempo.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  • Variação da velocidade ( ):
  • Intervalo de tempo ( ):
    Dez minutos é igual a horas.

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da aceleração média:
é

Passo 6

Segundo o Teorema do Valor Médio, se uma função (neste caso, a função da velocidade) é contínua e derivável no intervalo considerado, então existe pelo menos um ponto nesse intervalo onde a derivada (a aceleração instantânea) é igual à aceleração média.

Passo 7

Aplicando isso ao nosso caso, como a aceleração média é 90 km/h², então deve existir um momento entre 14h e 14h10 onde a aceleração instantânea do carro foi exatamente 90 km/h².

Resposta

Portanto, em algum momento entre 14h e 14h10, a aceleração do carro era exatamente .

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