Às 14 h o velocímetro de um carro marca
. Às 14 h 10 min , marca
. Prove que em algum momento entre 14 h e 14 h 10 min a aceleração do carro era exatamente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um carro que às 14h está andando a 50 km/h e, dez min depois, às 14h10, está a 65 km/h. A questão pede para provar que, em algum momento nesse intervalo de tempo, a aceleração do carro foi exatamente 90 km/h². Para resolver isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado Teorema do Valor Médio, que ajuda a encontrar pontos específicos onde uma certa condição é atendida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, ela nos diz o quanto a velocidade de um objeto está mudando a cada segundo (ou em outra unidade de tempo).
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração média do carro nesse intervalo de tempo. A aceleração média é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a variação da velocidade. -
é o intervalo de tempo.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
-
Variação da velocidade (
): -
Intervalo de tempo (
):
Dez minutos é igual ahoras.
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da aceleração média:
Passo 6
Segundo o Teorema do Valor Médio, se uma função (neste caso, a função da velocidade) é contínua e derivável no intervalo considerado, então existe pelo menos um ponto nesse intervalo onde a derivada (a aceleração instantânea) é igual à aceleração média.
Passo 7
Aplicando isso ao nosso caso, como a aceleração média é 90 km/h², então deve existir um momento entre 14h e 14h10 onde a aceleração instantânea do carro foi exatamente 90 km/h².
Resposta
Portanto, em algum momento entre 14h e 14h10, a aceleração do carro era exatamente
.
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique que
é contínua em
, que
, mas que não existe
tal que
. Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
©
©
Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F):
d) A direção em que uma função varia mais rapidamente em um ponto (
é a direção do vetor
.
d) A direção em que uma função