Seja
. Verifique que
é contínua em
, que
, mas que não existe
tal que
. Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar três coisas:
- Se
é contínua no intervalo . - Se
. - Mostrar que não existe um valor
em onde a derivada de , , seja igual a zero.
Por fim, precisamos explicar por que isso não viola o Teorema de Rolle. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade, derivadas e o Teorema de Rolle.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é contínua no intervalo
. A continuidade de uma função significa que não há “saltos” no seu gráfico; você pode desenhar a função sem levantar o lápis do papel.
A função
é contínua para todos os valores de
, incluindo negativos, porque o expoente
não causa problemas com raízes pares ou ímpares. Como
é uma combinação de funções contínuas (uma constante e
), ela também é contínua em todo o seu domínio, incluindo o intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores de
em
e
:
Portanto,
, ou seja, os valores de
nos extremos do intervalo são iguais.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a derivada de
:
Queremos encontrar um valor
em
tal que
:
Para que essa igualdade seja verdadeira, o único jeito seria
ser infinito, o que não acontece para nenhum
em
. Na verdade,
nunca é zero nesse intervalo porque a expressão
está sempre definida e diferente de zero, exceto em
, onde a derivada não existe.
Passo 5
Agora, por que isso não contraria o Teorema de Rolle? O Teorema de Rolle diz que se uma função é contínua em
, diferenciável em
e
, então existe pelo menos um
em
onde
.
No nosso caso:
- A função
é contínua em . - Os valores
e são iguais. - Porém, a derivada de
não existe em , que está dentro do intervalo .
Como a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto
(faltando a diferenciabilidade em
), o Teorema de Rolle não se aplica. Portanto, a ausência de um ponto
onde
não viola o teorema.
Resposta
A função
é contínua em
, satisfaz
, mas não possui nenhum ponto
em
onde
. Isso não contraria o Teorema de Rolle porque a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto
, especificamente em
, onde a derivada não existe. Portanto, uma das condições do teorema não é atendida.
Exercícios relacionados
Reescreva esta expressão, utilizando:
(a) integração em relação a ;
(b) coordenadas paramétricas.
(a) integração em relação a
(b) coordenadas paramétricas.
Às 14 h o velocímetro de um carro marca
. Às 14 h 10 min , marca
. Prove que em algum momento entre 14 h e 14 h 10 min a aceleração do carro era exatamente
.
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
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