Seja . Verifique que é contínua em , que , mas que não existe tal que . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar três coisas:
  1. Se é contínua no intervalo .
  2. Se .
  3. Mostrar que não existe um valor em onde a derivada de , , seja igual a zero.
    Por fim, precisamos explicar por que isso não viola o Teorema de Rolle. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade, derivadas e o Teorema de Rolle.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é contínua no intervalo . A continuidade de uma função significa que não há “saltos” no seu gráfico; você pode desenhar a função sem levantar o lápis do papel.
A função é contínua para todos os valores de , incluindo negativos, porque o expoente não causa problemas com raízes pares ou ímpares. Como é uma combinação de funções contínuas (uma constante e ), ela também é contínua em todo o seu domínio, incluindo o intervalo .

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores de em e :
Portanto, , ou seja, os valores de nos extremos do intervalo são iguais.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada de :
Queremos encontrar um valor em tal que :
Para que essa igualdade seja verdadeira, o único jeito seria ser infinito, o que não acontece para nenhum em . Na verdade, nunca é zero nesse intervalo porque a expressão está sempre definida e diferente de zero, exceto em , onde a derivada não existe.

Passo 5

Agora, por que isso não contraria o Teorema de Rolle? O Teorema de Rolle diz que se uma função é contínua em , diferenciável em e , então existe pelo menos um em onde .
No nosso caso:
  • A função é contínua em .
  • Os valores e são iguais.
  • Porém, a derivada de não existe em , que está dentro do intervalo .
Como a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto (faltando a diferenciabilidade em ), o Teorema de Rolle não se aplica. Portanto, a ausência de um ponto onde não viola o teorema.

Resposta

A função é contínua em , satisfaz , mas não possui nenhum ponto em onde . Isso não contraria o Teorema de Rolle porque a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto , especificamente em , onde a derivada não existe. Portanto, uma das condições do teorema não é atendida.

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Reescreva esta expressão, utilizando:
(a) integração em relação a ;
(b) coordenadas paramétricas.
Às 14 h o velocímetro de um carro marca . Às 14 h 10 min , marca . Prove que em algum momento entre 14 h e 14 h 10 min a aceleração do carro era exatamente .
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
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