Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(e) ((x - x0)² / a²) - ((y - y0)² / b²) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar equações paramétricas associadas à seguinte equação cartesiana de uma hipérbole:
Vamos usar conhecimentos sobre hipérboles e parametrização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são equações paramétricas. Em vez de ter uma equação que relaciona e diretamente, as equações paramétricas usam um terceiro parâmetro, geralmente denotado por , para expressar e separadamente. Isso facilita a descrição das curvas.
Para uma hipérbole, podemos usar funções hiperbólicas que nos ajudam a parametrizar a equação.

Passo 3

A hipérbole dada está centrada no ponto e abre horizontalmente porque o termo com está positivo. As equações paramétricas para uma hipérbole com essas características são dadas por:
Aqui, e são as funções hiperbólicas que garantem que a equação paramétrica satisfaça a equação original da hipérbole.

Passo 4

Vamos verificar rapidamente se essas parametrizações satisfazem a equação original. Substituindo e na equação cartesiana:
Como sabemos, , então as parametrizações estão corretas.

Resposta

As equações paramétricas são:

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