Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar equações paramétricas associadas à seguinte equação cartesiana de uma hipérbole:
Vamos usar conhecimentos sobre hipérboles e parametrização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são equações paramétricas. Em vez de ter uma equação que relaciona
e
diretamente, as equações paramétricas usam um terceiro parâmetro, geralmente denotado por
, para expressar
e
separadamente. Isso facilita a descrição das curvas.
Para uma hipérbole, podemos usar funções hiperbólicas que nos ajudam a parametrizar a equação.
Passo 3
A hipérbole dada está centrada no ponto
e abre horizontalmente porque o termo com
está positivo. As equações paramétricas para uma hipérbole com essas características são dadas por:
Aqui,
e
são as funções hiperbólicas que garantem que a equação paramétrica satisfaça a equação original da hipérbole.
Passo 4
Vamos verificar rapidamente se essas parametrizações satisfazem a equação original. Substituindo
e
na equação cartesiana:
Como sabemos,
, então as parametrizações estão corretas.
Resposta
As equações paramétricas são: