Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F):
d) A direção em que uma função
varia mais rapidamente em um ponto (
é a direção do vetor
.
d) A direção em que uma função
Passo 1
Então, a gente tem uma afirmação que fala sobre a direção em que uma função
muda mais rápido num ponto específico
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre gradientes e direções de maior variação. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é o vetor gradiente e como ele está relacionado com a variação da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente
. Ele é formado pelas derivadas parciais da função
em relação a
e
:
Esse vetor aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente a partir do ponto
.
Passo 3
A ideia de direção de maior variação está ligada ao conceito de derivada direcional. A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
O ponto chave aqui é que o produto escalar é máximo quando
está na mesma direção do gradiente
. Isso significa que a taxa de variação da função é maior nessa direção.
Passo 4
Portanto, a direção em que a função
varia mais rapidamente no ponto
realmente coincide com a direção do vetor gradiente
. Isso confirma que a afirmação está correta.
Resposta
Verdadeiro (V).