Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F):
d) A direção em que uma função f: R^2 -> R varia mais rapidamente em um ponto ( x0, y0 é a direção do vetor nabla f(x0, y0).

Passo 1

Então, a gente tem uma afirmação que fala sobre a direção em que uma função muda mais rápido num ponto específico . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre gradientes e direções de maior variação. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é o vetor gradiente e como ele está relacionado com a variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente . Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a e :
Esse vetor aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente a partir do ponto .

Passo 3

A ideia de direção de maior variação está ligada ao conceito de derivada direcional. A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
O ponto chave aqui é que o produto escalar é máximo quando está na mesma direção do gradiente . Isso significa que a taxa de variação da função é maior nessa direção.

Passo 4

Portanto, a direção em que a função varia mais rapidamente no ponto realmente coincide com a direção do vetor gradiente . Isso confirma que a afirmação está correta.

Resposta

Verdadeiro (V).

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