Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
O que temos aqui?
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Como fazemos isso?
A gente assume uma solução da forma , onde
é uma constante que vamos determinar.
A gente assume uma solução da forma
Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes:
- Para o termo
:
Como a função
já está na solução homogênea (
), precisamos multiplicar por
para evitar soluções redundantes. Então, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a determinar.
- Para o termo
:
Assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Vamos começar encontrando
:
Assumimos:
Calculamos as derivadas necessárias:
Nota: Para simplificar, geralmente se usa o método dos coeficientes a determinar, substituindo
e suas derivadas na equação original e igualando os coeficientes dos termos semelhantes.
Após realizar os cálculos, encontramos os valores de
e
.
Passo 5
Agora, encontramos
:
Assumimos:
Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para essa parte é:
Passo 6
Finalmente, combinamos as soluções encontradas:
A solução geral é:
Onde
,
,
,
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
,
,
e
são constantes arbitrárias.