1. y''' - y' = t e^(-t) + 2 cos(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
O que temos aqui?
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Como fazemos isso?
A gente assume uma solução da forma , onde r é uma constante que vamos determinar.
Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde , e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes:
  1. Para o termo :
Como a função e^(-t) já está na solução homogênea ( ), precisamos multiplicar por t para evitar soluções redundantes. Então, assumimos uma solução particular da forma:
Onde A e B são constantes a determinar.
  1. Para o termo :
Assumimos uma solução particular da forma:
Onde D e E são constantes a determinar.

Passo 4

Vamos começar encontrando :
Assumimos:
Calculamos as derivadas necessárias:
Nota: Para simplificar, geralmente se usa o método dos coeficientes a determinar, substituindo e suas derivadas na equação original e igualando os coeficientes dos termos semelhantes.
Após realizar os cálculos, encontramos os valores de A e B.

Passo 5

Agora, encontramos :
Assumimos:
Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para essa parte é:

Passo 6

Finalmente, combinamos as soluções encontradas:
A solução geral é:
Onde , , , A e B são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde , , , A e B são constantes arbitrárias.

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