integral0^x f(t) d t, onde f(t)= 1, & se 0 <= t<1 2, & se 1 <= t<2 3, & se t >= 2

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. A gente precisa calcular a integral definida de uma função f(t) = 1, & se 0 <= t < 1 2, & se 1 <= t < 2 3, & se t >= 2 no intervalo de 0 até . A função é definida por partes:
Então, a matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais definidas de funções por partes. Vamos precisar entender como integrar cada parte da função dependendo do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral definida de uma função por partes pode ser dividida em intervalos onde a função tem uma expressão específica. No nosso caso, muda de valor em e . Por isso, vamos considerar três casos diferentes para :

Passo 3

Caso 1: integral0^x 1 , dt = 1 cdot (x - 0) = x
Aqui, todo o intervalo de integração de 0 até está na primeira parte da função, onde .
Então, a integral fica:

Passo 4

Caso 2: integral0^x f(t) , dt = integral0^1 1 , dt + integral1^x 2 , dt
Neste caso, o intervalo de 0 até integral0^1 1 , dt = 1 cdot (1 - 0) = 1 abrange duas partes da função:
  • De 0 até 1, integral1^x 2 , dt = 2 cdot (x - 1) = 2x - 2
  • De 1 até 1 + (2x - 2) = 2x - 1 ,
Então, dividimos a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
Somando as duas partes:

Passo 5

Caso 3: integral0^x f(t) , dt = integral0^1 1 , dt + integral1^2 2 , dt + integral2^x 3 , dt
Agora, o intervalo de 0 até integral0^1 1 , dt = 1 cdot (1 - 0) = 1 abrange todas as três partes da função:
  • De 0 até 1, integral1^2 2 , dt = 2 cdot (2 - 1) = 2
  • De 1 até 2, integral2^x 3 , dt = 3 cdot (x - 2) = 3x - 6
  • De 2 até 1 + 2 + (3x - 6) = 3x - 3 ,
Dividimos a integral em três partes:
Calculando cada integral:
Somando todas as partes:

Resposta

A integral definida integral0^x f(t) , dt = x, & se 0 <= x < 1 2x - 1, & se 1 <= x < 2 3x - 3, & se x >= 2 é igual a:

Exercícios relacionados