1. y^(4) + 4 y'' = sen(2t) + t e^(t) + 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é uma equação diferencial de quarta ordem:
Esse tipo de problemas faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é tirada igualando o lado direito a zero:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica associada. Substituindo , temos:
Fatorando, fica:
Isso nos dá as raízes:
  • (com multiplicidade 2)
  • e

Passo 3

Agora, escrevemos a solução geral da equação homogênea usando essas raízes:
Aqui, são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas no enunciado).

Passo 4

Vamos encontrar a solução particular para a equação completa. Observando o lado direito , vamos tratar cada termo separadamente.

4.1. Para :

Como já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por para evitar repetição:

4.2. Para :

Procuramos uma solução da forma:

4.3. Para a constante :

Assumimos uma solução constante:

Passo 5

Agora, juntamos todas as soluções:
Os coeficientes são determinados substituindo na equação original e igualando os coeficientes dos termos similares. Após resolver, obtemos os valores de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde são constantes que dependem das condições iniciais.

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