Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é uma equação diferencial de quarta ordem:
Esse tipo de problemas faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é tirada igualando o lado direito a zero:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica associada. Substituindo
, temos:
Fatorando, fica:
Isso nos dá as raízes:
-
(com multiplicidade 2) -
e
Passo 3
Agora, escrevemos a solução geral da equação homogênea usando essas raízes:
Aqui,
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas no enunciado).
Passo 4
Vamos encontrar a solução particular
para a equação completa. Observando o lado direito
, vamos tratar cada termo separadamente.
4.1. Para
:
Como
já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar repetição:
4.2. Para
:
Procuramos uma solução da forma:
4.3. Para a constante
:
Assumimos uma solução constante:
Passo 5
Agora, juntamos todas as soluções:
Os coeficientes
são determinados substituindo
na equação original e igualando os coeficientes dos termos similares. Após resolver, obtemos os valores de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
são constantes que dependem das condições iniciais.