Verifique se a função f definida por
f(x) = { 1/(x-1) se -1 <= x < 1; 2 se 1 <= x <= 3 }
é integrável em [-1, 3].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes em dois intervalos: de a , onde , e de a , onde . A gente precisa verificar se essa função é integrável no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre funções descontínuas e integrabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser integrável em um intervalo. Basicamente, uma função é integrável se a área sob o gráfico dela nesse intervalo é bem definida, ou seja, se não tem “buracos” grandes ou infinitos que impedem o cálculo da integral. Nesse caso, nossa função tem uma descontinuidade em , então precisamos verificar se essa descontinuidade é problemática para a integrabilidade.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da função separadamente. De a , . Essa função tem um ponto problemático em , onde o denominador se torna zero, o que faz tender ao infinito. Isso significa que há uma assíntota vertical em , e precisamos verificar se essa descontinuidade infinita impede a integrabilidade.

Passo 4

Para funções com descontinuidades infinitas, a gente usa o conceito de integral imprópria. A integral de a de pode ser dividida em duas partes:
Vamos analisar cada integral separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos . Fazendo uma substituição simples, sabemos que . Avaliando de a :
Quando se aproxima de pela esquerda, se aproxima de negativo, então se aproxima de . O logaritmo de um número que se aproxima de zero tende a , então essa parte da integral diverge para .

Passo 6

Agora, vamos calcular . Isso é mais simples:
Essa integral dá um valor finito, mas isso não compensa a divergência da primeira parte.

Passo 7

Como a primeira integral não converge (tende a ), a função não é integrável no intervalo , mesmo que a segunda parte seja finita.

Resposta

A função não é integrável em .

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