Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes em dois intervalos: de a , onde , e de a , onde . A gente precisa verificar se essa função é integrável no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre funções descontínuas e integrabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser integrável em um intervalo. Basicamente, uma função é integrável se a área sob o gráfico dela nesse intervalo é bem definida, ou seja, se não tem “buracos” grandes ou infinitos que impedem o cálculo da integral. Nesse caso, nossa função tem uma descontinuidade em , então precisamos verificar se essa descontinuidade é problemática para a integrabilidade.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da função separadamente. De a , . Essa função tem um ponto problemático em , onde o denominador se torna zero, o que faz tender ao infinito. Isso significa que há uma assíntota vertical em , e precisamos verificar se essa descontinuidade infinita impede a integrabilidade.
Passo 4
Para funções com descontinuidades infinitas, a gente usa o conceito de integral imprópria. A integral de a de pode ser dividida em duas partes:
Vamos analisar cada integral separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos . Fazendo uma substituição simples, sabemos que . Avaliando de a :
Quando se aproxima de pela esquerda, se aproxima de negativo, então se aproxima de . O logaritmo de um número que se aproxima de zero tende a , então essa parte da integral diverge para .
Passo 6
Agora, vamos calcular . Isso é mais simples:
Essa integral dá um valor finito, mas isso não compensa a divergência da primeira parte.
Passo 7
Como a primeira integral não converge (tende a ), a função não é integrável no intervalo , mesmo que a segunda parte seja finita.