3.(15.18) Duas partículas executam um movimento harmônico simples com as mesmas amplitudes e frequências ao longo da mesma linha reta. Elas passam uma pela outra, movendo- se em sentidos opostos, cada vez que o seu deslocamento é a metade da amplitude. Qual a diferença de fase entre elas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre duas partículas que estão fazendo Movimento Harmônico Simples (MHS) com a mesma amplitude e frequência na mesma linha reta. Elas passam uma pela outra movendo-se em sentidos opostos quando o deslocamento delas é metade da amplitude. Nosso objetivo é descobrir qual é a diferença de fase entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral para o deslocamento em um Movimento Harmônico Simples:
  • é a amplitude,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Como as duas partículas têm a mesma amplitude e frequência, podemos escrever os deslocamentos delas como:
Aqui, assumimos que a primeira partícula tem fase inicial zero para simplificar.

Passo 3

Segundo o enunciado, as partículas se encontram (passam uma pela outra) quando seu deslocamento é metade da amplitude, ou seja:
Então, substituindo na equação:
Isso nos dá os momentos em que o deslocamento é metade da amplitude.

Passo 4

Além disso, elas estão se movendo em sentidos opostos nesse instante. A velocidade em MHS é dada pela derivada do deslocamento:
Como estão se movendo em sentidos opostos:
Substituindo as expressões de velocidade:

Passo 5

Vamos resolver as equações obtidas:
  1. Sabemos que:
Isso ocorre quando:
  1. E também:
Vamos considerar :
Isso ocorre quando:

Resposta

A diferença de fase entre as duas partículas é radianos, ou 120 graus.

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