3.(15.18) Duas partículas executam um movimento harmônico simples com as mesmas amplitudes e frequências ao longo da mesma linha reta. Elas passam uma pela outra, movendo- se em sentidos opostos, cada vez que o seu deslocamento é a metade da amplitude. Qual a diferença de fase entre elas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre duas partículas que estão fazendo Movimento Harmônico Simples (MHS) com a mesma amplitude e frequência na mesma linha reta. Elas passam uma pela outra movendo-se em sentidos opostos quando o deslocamento delas é metade da amplitude. Nosso objetivo é descobrir qual é a diferença de fase entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral para o deslocamento em um Movimento Harmônico Simples:
x(t) = A cdot sin(omega t + phi)
  • x1(t) = A cdot sin(omega t) é a amplitude,
  • x2(t) = A cdot sin(omega t + phi) é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Como as duas partículas têm a mesma amplitude e frequência, podemos escrever os deslocamentos delas como:
Aqui, assumimos que a primeira partícula tem fase inicial zero para simplificar.

Passo 3

Segundo o enunciado, as partículas se encontram (passam uma pela outra) quando seu deslocamento é metade da amplitude, ou seja:
x1(t) = x2(t) = A2
Então, substituindo na equação:
A cdot sin(omega t) = A2
sin(omega t) = 12
Isso nos dá os momentos em que o deslocamento é metade da amplitude.

Passo 4

Além disso, elas estão se movendo em sentidos opostos nesse instante. A velocidade em MHS é dada pela derivada do deslocamento:
v(t) = dxdt = A cdot omega cdot cos(omega t + phi)
Como estão se movendo em sentidos opostos:
v1(t) = -v2(t)
Substituindo as expressões de velocidade:
A cdot omega cdot cos(omega t) = -A cdot omega cdot cos(omega t + phi)
cos(omega t) = -cos(omega t + phi)

Passo 5

Vamos resolver as equações obtidas:
  1. Sabemos que:
sin(omega t) = 12
Isso ocorre quando:
omega t = pi6 ou omega t = 5pi6
  1. E também:
cos(omega t) = -cos(omega t + phi)
Vamos considerar cos(pi6) = -cos(pi6 + phi) :
raiz32 = -cos(pi6 + phi)
cos(pi6 + phi) = -raiz32
pi6 + phi = 5pi6
Isso ocorre quando:
phi = 5pi6 - pi6
phi = 4pi6
phi = 2pi3

Resposta

A diferença de fase entre as duas partículas é radianos, ou 120 graus.

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