Um cabo coaxial simples consiste em um cilindro condutor infinito, maciço, de raio , carregado com uma densidade linear de carga e uma casca cilíndrica condutora, também infinita e coaxial ao cilindro, de raio , uniformemente carregada com uma densidade linear de carga . Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo cabo nas regiões e , onde é a distância medida a partir do eixo comum.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um cabo coaxial, que basicamente é como dois cilindros perfeitinhos um dentro do outro. O cilindro interno tem raio e está carregado com uma densidade linear de carga . Já a casca externa tem raio (que é maior que ) e está carregada com . Nosso objetivo aqui é descobrir o campo elétrico que esse cabo produz em três regiões diferentes: quando a distância do eixo é menor que ( ), entre e ( ), e maior ou igual a ( ). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (a chamada superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica :
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, a gente escolhe uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cabo, de raio e comprimento . Isso facilita porque o campo elétrico vai ser radial e ter a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana.

Passo 3

Vamos analisar cada região uma por uma começando por .

Região 1:

Aqui, a superfície gaussiana está dentro do cilindro interno. A carga total dentro dessa superfície é proporcional ao comprimento e à densidade linear de carga :
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando e resolvendo para :
Então, o campo elétrico nessa região é radial e diminui com .

Passo 4

Região 2:

Agora, a superfície gaussiana está entre os dois cilindros. Dentro dessa região, temos a carga do cilindro interno e a casca externa com . Mas como a casca está fora da nossa superfície gaussiana, ela não contribui para a carga dentro. Então, a carga total dentro ainda é .
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Resolvendo para :
Perceba que o campo elétrico nessa região é igual ao da primeira região, já que a casca externa ainda não está “sentida” pela nossa superfície gaussiana.

Passo 5

Região 3:

Por fim, a superfície gaussiana está fora da casca externa. Agora, a casca tem carga e o cilindro interno tem . A carga total dentro da superfície gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
O que nos dá:
Ou seja, fora do cabo coaxial, o campo elétrico é nulo porque as cargas internas se cancelam.

Resposta

O vetor campo elétrico produzido pelo cabo coaxial é dado por:

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(a) A lei de Gauss é válida nesse problema?
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