Um cabo coaxial simples consiste em um cilindro condutor infinito, maciço, de raio
, carregado com uma densidade linear de carga
e uma casca cilíndrica condutora, também infinita e coaxial ao cilindro, de raio
, uniformemente carregada com uma densidade linear de carga
. Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo cabo nas regiões
e
, onde
é a distância medida a partir do eixo comum.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um cabo coaxial, que basicamente é como dois cilindros perfeitinhos um dentro do outro. O cilindro interno tem raio
e está carregado com uma densidade linear de carga
. Já a casca externa tem raio
(que é maior que
) e está carregada com
. Nosso objetivo aqui é descobrir o campo elétrico
que esse cabo produz em três regiões diferentes: quando a distância
do eixo é menor que
(
), entre
e
(
), e maior ou igual a
(
). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (a chamada superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
:
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, a gente escolhe uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cabo, de raio
e comprimento
. Isso facilita porque o campo elétrico vai ser radial e ter a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana.
Passo 3
Vamos analisar cada região uma por uma começando por
.
Região 1:
Aqui, a superfície gaussiana está dentro do cilindro interno. A carga total dentro dessa superfície é proporcional ao comprimento
e à densidade linear de carga
:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando
e resolvendo para
:
Então, o campo elétrico nessa região é radial e diminui com
.
Passo 4
Região 2:
Agora, a superfície gaussiana está entre os dois cilindros. Dentro dessa região, temos a carga do cilindro interno
e a casca externa com
. Mas como a casca está fora da nossa superfície gaussiana, ela não contribui para a carga dentro. Então, a carga total dentro ainda é
.
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Resolvendo para
:
Perceba que o campo elétrico nessa região é igual ao da primeira região, já que a casca externa ainda não está “sentida” pela nossa superfície gaussiana.
Passo 5
Região 3:
Por fim, a superfície gaussiana está fora da casca externa. Agora, a casca tem carga
e o cilindro interno tem
. A carga total dentro da superfície gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
O que nos dá:
Ou seja, fora do cabo coaxial, o campo elétrico é nulo porque as cargas internas se cancelam.
Resposta
O vetor campo elétrico
produzido pelo cabo coaxial é dado por: