Considere um cubo sólido, isolante e uniformemente carregado. Um aluno deseja calcular o campo elétrico produzido pelo cubo em um ponto fora do mesmo e resolve utilizar a lei de Gauss. Para isso, ele traça uma superfície gaussiana cúbica, com centro coincidente com o centro do cubo carregado e faces paralelas ao mesmo. Sobre esse procedimento, responda, justificando todas as respostas:
(a) A lei de Gauss é válida nesse problema?
(b) O campo elétrico produzido pelo cubo de carga tem intensidade constante sobre todos os pontos da superfície gaussiana escolhida?
© A escolha de uma superfíicie gaussiana com a mesma simetria do objeto permite o cálculo do campo elétrico nesse problema?
(a) A lei de Gauss é válida nesse problema?
(b) O campo elétrico produzido pelo cubo de carga tem intensidade constante sobre todos os pontos da superfície gaussiana escolhida?
© A escolha de uma superfíicie gaussiana com a mesma simetria do objeto permite o cálculo do campo elétrico nesse problema?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que está rolando aqui. Temos um cubo sólido, isolante e com carga distribuída de maneira uniforme. A parada é calcular o campo elétrico desse cubo em um ponto que está fora dele. Para fazer isso, o aluno decidiu usar a Lei de Gauss e desenhou uma superfície gaussiana que também é um cubo, colocado exatamente no centro do cubo carregado e com as mesmas orientações das faces.
Vamos precisar entender a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dela, e também considerar a simetria do problema para facilitar os cálculos.
Passo 2
Parte (a): A lei de Gauss é válida nesse problema?
Sim, a Lei de Gauss é válida nesse caso. A Lei de Gauss é uma das equações de Maxwell e é aplicável a qualquer distribuição de carga elétrica, seja ela simétrica ou não. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície.
Como estamos lidando com um cubo carregado e uma superfície gaussiana fechada em torno dele, podemos aplicar essa lei sem problemas.
Passo 3
Parte (b): O campo elétrico produzido pelo cubo de carga tem intensidade constante sobre todos os pontos da superfície gaussiana escolhida?
Não necessariamente. A intensidade do campo elétrico depende da posição relativa entre o ponto onde estamos calculando o campo e a distribuição de carga. Embora a superfície gaussiana tenha a mesma simetria do cubo carregado, a distribuição de carga no cubo pode não gerar um campo elétrico de intensidade constante em todos os pontos da superfície gaussiana.
Em situações com alta simetria, como uma esfera carregada, podemos dizer que o campo elétrico é constante na superfície gaussiana. Porém, para um cubo, essa simetria não é suficiente para garantir que o campo elétrico seja o mesmo em todas as partes da superfície gaussiana.
Passo 4
Parte ©: A escolha de uma superfície gaussiana com a mesma simetria do objeto permite o cálculo do campo elétrico nesse problema?
Sim e não. Escolher uma superfície gaussiana que compartilha a mesma simetria do objeto carregado (neste caso, um cubo) é geralmente uma boa estratégia para simplificar os cálculos do campo elétrico usando a Lei de Gauss. Isso porque a simetria pode nos ajudar a fazer suposições sobre a direção e a magnitude do campo elétrico em diferentes partes da superfície.
No entanto, como mencionado na parte (b), mesmo com a simetria cúbica, o campo elétrico resultante pode não ser constante em toda a superfície gaussiana. Isso significa que, embora a simetria ajude, pode não ser suficiente para resolver completamente o campo elétrico sem considerar mais detalhes da distribuição de carga.
Resposta
(a) Sim, a Lei de Gauss é válida nesse problema.
(b) Não, o campo elétrico produzido pelo cubo de carga não tem intensidade constante sobre todos os pontos da superfície gaussiana escolhida.
© A escolha de uma superfície gaussiana com a mesma simetria do objeto ajuda, mas por si só não permite calcular completamente o campo elétrico nesse problema.
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e
, onde
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.
(a) Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
(b) Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro . Mostre que seu resultado nessa região coincide com o de um fio retilíneo fino, infinito, com a densidade linear de carga obtida no item (a).
© Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro .
(a) Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
(b) Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro
© Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro