15-18 (a) Encontre a diferencial e (b) avalie para os valores dados de e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partes: (a) encontrar a diferencial de uma função, e (b) avaliar essa diferencial para valores específicos de e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferencial. Se temos uma função , a diferencial representa uma pequena variação em correspondente a uma pequena variação em . A fórmula para calcular é:
Aqui, é a derivada da função em relação a .

Passo 3

Então, para encontrar , precisamos:
  1. Calcular a derivada .
  2. Multiplicar essa derivada por .
Isso nos dá a expressão da diferencial em termos de e .

Passo 4

Vamos supor que a função seja (já que a função específica não foi fornecida). Então, a derivada é:
Portanto, a diferencial fica:

Passo 5

Agora, para avaliar com valores específicos de e , basta substituir esses valores na expressão que encontramos.
Por exemplo, se e :

Resposta

A diferencial é dada por:
Para e , temos:

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(b)
(b)
19-22 Compute e para os valores dados de e . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos e .
29-31 Explique, em termos de aproximações lineares ou de diferenciais, por que a aproximação é razoável.