29-31 Explique, em termos de aproximações lineares ou de diferenciais, por que a aproximação é razoável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que usar aproximações lineares ou diferenciais é uma boa ideia. Estamos falando de cálculo, especificamente de métodos para aproximar funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são aproximações lineares e diferenciais e como elas funcionam para simplificar cálculos quando fazemos pequenas mudanças.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre aproximação linear. Imagine que você tem uma curva, e quer saber como ela se comporta perto de um ponto específico. Em vez de lidar com toda a complexidade da curva, a gente usa a reta tangente nesse ponto para aproximar a função. A equação da reta tangente é dada por:
Isso significa que, perto de
, a função
se comporta quase como essa reta, facilitando os cálculos.
Passo 3
Agora, sobre os diferenciais. Eles são uma forma de quantificar pequenas mudanças em
e como elas afetam
. Se você tem uma pequena variação
, o diferencial
é aproximado por:
Isso nos dá uma maneira simples de estimar a variação de
sem calcular o valor exato, o que pode ser complicado.
Passo 4
Então, por que essa aproximação é razoável? Quando
é muito pequeno, a curva da função não muda muito sua inclinação, e a reta tangente fica praticamente igual à curva nesse intervalo. Portanto, a aproximação linear ou o uso de diferenciais fornece uma estimativa muito precisa para pequenas variações, simplificando bastante os cálculos sem perder muita precisão.
Resposta
Usar aproximações lineares ou diferenciais é razoável porque, para pequenas mudanças em
, a função se comporta quase como sua reta tangente, permitindo estimativas precisas e simplificando os cálculos.
Exercícios relacionados
19-22 Compute
e
para os valores dados de
e
. A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos
e
.
15-18 (a) Encontre a diferencial
e (b) avalie
para os valores dados de
e
.