29-31 Explique, em termos de aproximações lineares ou de diferenciais, por que a aproximação é razoável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que usar aproximações lineares ou diferenciais é uma boa ideia. Estamos falando de cálculo, especificamente de métodos para aproximar funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são aproximações lineares e diferenciais e como elas funcionam para simplificar cálculos quando fazemos pequenas mudanças.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre aproximação linear. Imagine que você tem uma curva, e quer saber como ela se comporta perto de um ponto específico. Em vez de lidar com toda a complexidade da curva, a gente usa a reta tangente nesse ponto para aproximar a função. A equação da reta tangente é dada por:
Isso significa que, perto de , a função se comporta quase como essa reta, facilitando os cálculos.

Passo 3

Agora, sobre os diferenciais. Eles são uma forma de quantificar pequenas mudanças em e como elas afetam . Se você tem uma pequena variação , o diferencial é aproximado por:
Isso nos dá uma maneira simples de estimar a variação de sem calcular o valor exato, o que pode ser complicado.

Passo 4

Então, por que essa aproximação é razoável? Quando é muito pequeno, a curva da função não muda muito sua inclinação, e a reta tangente fica praticamente igual à curva nesse intervalo. Portanto, a aproximação linear ou o uso de diferenciais fornece uma estimativa muito precisa para pequenas variações, simplificando bastante os cálculos sem perder muita precisão.

Resposta

Usar aproximações lineares ou diferenciais é razoável porque, para pequenas mudanças em , a função se comporta quase como sua reta tangente, permitindo estimativas precisas e simplificando os cálculos.

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