19-22 Compute
e
para os valores dados de
e
. A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos
e
com os valores dados de
e
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial aqui, especificamente com mudanças em variáveis. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de derivadas e diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
:
-
representa a variação verdadeira de quando muda de para . Ou seja, é a diferença algebrica entre os valores de nos dois pontos. -
é a diferencial de , que é uma aproximação da variação de baseada na derivada. É calculada multiplicando a derivada de em relação a pelo incremento .
Passo 3
Para calcular
, usamos a definição de variação:
Aqui, substituímos os valores de
e
na função
para encontrar a diferença.
Passo 4
Agora, para encontrar
, precisamos da derivada de
em relação a
, que chamaremos de
. A diferencial
é então:
Isso nos dá uma aproximação da variação de
com base na taxa de mudança instantânea (a derivada).
Passo 5
Com os valores de
e
fornecidos no exercício, substituímos na fórmula de
e na de
para calcular os resultados numéricos.
Por exemplo, se
, então:
Então,
Resposta
Após calcular com os valores dados, encontramos que:
Além disso, para o diagrama, desenhe três segmentos de reta representando
,
e
, conforme a Figura 5 do material de referência.
Exercícios relacionados
15-18 (a) Encontre a diferencial
e (b) avalie
para os valores dados de
e
.
(b)
29-31 Explique, em termos de aproximações lineares ou de diferenciais, por que a aproximação é razoável.