19-22 Compute e para os valores dados de e . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos e com os valores dados de e . Estamos trabalhando com cálculo diferencial aqui, especificamente com mudanças em variáveis. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de derivadas e diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e :
  • representa a variação verdadeira de quando muda de para . Ou seja, é a diferença algebrica entre os valores de nos dois pontos.
  • é a diferencial de , que é uma aproximação da variação de baseada na derivada. É calculada multiplicando a derivada de em relação a pelo incremento .

Passo 3

Para calcular , usamos a definição de variação:
Aqui, substituímos os valores de e na função para encontrar a diferença.

Passo 4

Agora, para encontrar , precisamos da derivada de em relação a , que chamaremos de . A diferencial é então:
Isso nos dá uma aproximação da variação de com base na taxa de mudança instantânea (a derivada).

Passo 5

Com os valores de e fornecidos no exercício, substituímos na fórmula de e na de para calcular os resultados numéricos.
Por exemplo, se , então:
Então,

Resposta

Após calcular com os valores dados, encontramos que:
Além disso, para o diagrama, desenhe três segmentos de reta representando , e , conforme a Figura 5 do material de referência.

Exercícios relacionados

15-18 (a) Encontre a diferencial e (b) avalie para os valores dados de e .
(b)
29-31 Explique, em termos de aproximações lineares ou de diferenciais, por que a aproximação é razoável.