19-22 Compute Delta y e dy para os valores dados de x e dx = Delta x. A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos dx, dy e Delta y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos Delta y e com os valores dados de x e . Estamos trabalhando com cálculo diferencial aqui, especificamente com mudanças em variáveis. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de derivadas e diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são Delta y e :
  • Delta y representa a variação verdadeira de y quando x muda de x para . Ou seja, é a diferença algebrica entre os valores de y nos dois pontos.
  • é a diferencial de y, que é uma aproximação da variação de y baseada na derivada. É calculada multiplicando a derivada de y em relação a x pelo incremento .

Passo 3

Para calcular Delta y, usamos a definição de variação:
Aqui, substituímos os valores de x e na função y para encontrar a diferença.

Passo 4

Agora, para encontrar , precisamos da derivada de y em relação a x, que chamaremos de . A diferencial é então:
Isso nos dá uma aproximação da variação de y com base na taxa de mudança instantânea (a derivada).

Passo 5

Com os valores de x e fornecidos no exercício, substituímos na fórmula de Delta y e na de para calcular os resultados numéricos.
Por exemplo, se , então:
Então,

Resposta

Após calcular com os valores dados, encontramos que:
Além disso, para o diagrama, desenhe três segmentos de reta representando , e Delta y, conforme a Figura 5 do material de referência.

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