Usando o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e. Calcule os seguintes limites:
lim x -infty(1+1x)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular . Estamos trabalhando com limites envolvendo potências, e vamos precisar usar o limite fundamental que diz que , onde é a base dos logaritmos naturais. Vamos ver como adaptar isso para tendendo a menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. Observe que (1 + 1x)^x = (1 + 1-y)^-y = (1 - 1y)^-y pode ser transformado mudando a variável. Vamos fazer uma substituição para tornar o limite mais parecido com o que já conhecemos.
Vamos chamar . Assim, quando , . Substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, temos o limite em termos de limy to infty (1 - 1y)^-y :
(1 - 1y)^-y = (11 - 1y)^y = (1 + 1y - 1)^y
Isso se parece muito com o limite fundamental que conhecemos, mas com um sinal negativo. Podemos reescrever a expressão de uma forma que se assemelhe mais ao limite conhecido:

Passo 4

Agora, vamos analisar (1 + 1y - 1)^y approx (1 + 1y)^y . Para grandes valores de limy to infty (1 + 1y)^y = e , , então podemos aproximar:
Sabemos que . Portanto, a aproximação sugere que:

Passo 5

Voltando à nossa expressão original, após a substituição, temos:
limy to infty (1 - 1y)^-y = e

Resposta

Portanto, .

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Encontre o limite. Use a regra do L lim x 0^+ x^x^2;
15-20 Resolva o problema de valor inicial.
15. y' + y = x + e^2, y(0) = 0
Calcule os seguintes limites no infinito:
lim x infty(raiz17-1x+5x^2)
Calcule os seguintes limites infinitos:
lim x 1^+ 1x-1