Usando o limite fundamental
. Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular
. Estamos trabalhando com limites envolvendo potências, e vamos precisar usar o limite fundamental que diz que
, onde
é a base dos logaritmos naturais. Vamos ver como adaptar isso para
tendendo a menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. Observe que
pode ser transformado mudando a variável. Vamos fazer uma substituição para tornar o limite mais parecido com o que já conhecemos.
Vamos chamar
. Assim, quando
,
. Substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, temos o limite em termos de
:
Isso se parece muito com o limite fundamental que conhecemos, mas com um sinal negativo. Podemos reescrever a expressão de uma forma que se assemelhe mais ao limite conhecido:
Passo 4
Agora, vamos analisar
. Para grandes valores de
,
, então podemos aproximar:
Sabemos que
. Portanto, a aproximação sugere que:
Passo 5
Voltando à nossa expressão original, após a substituição, temos:
Resposta
Portanto,
.
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;
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15.
15.
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Calcule os seguintes limites infinitos: