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Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção de
a
. Calcule também a direção segundo a qual
cresce mais rapidamente, bem como essa taxa de crescimento:
(a)
Calcule a derivada direcional de
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção de
a
. Além disso, também precisamos encontrar a direção na qual
cresce mais rápido e a taxa de crescimento nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas direcionais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como encontrar a direção de
para
. Isso é feito calculando o vetor direção a partir de
até
. A fórmula para isso é:
Passo 3
Agora, vamos transformar esse vetor direção
em um vetor unitário, que é necessário para calcular a derivada direcional. A fórmula para o vetor unitário
é:
Onde
é o comprimento do vetor
, calculado por:
Então, o vetor unitário
fica:
Passo 4
Para encontrar a derivada direcional de
no ponto
na direção de
, usamos a fórmula:
Aqui,
é o gradiente de
no ponto
, e “
” representa o produto escalar.
Passo 5
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Então, no ponto
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:
Passo 7
Agora, para encontrar a direção na qual
cresce mais rapidamente, utilizamos o gradiente
. A direção de máximo crescimento é exatamente a direção do gradiente.
Então, a direção de máximo crescimento é na direção de
. Podemos também representar isso como um vetor unitário:
Passo 8
Finalmente, a taxa de crescimento máxima é o comprimento do gradiente no ponto
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
a
é
. A direção na qual
cresce mais rapidamente é na direção do vetor
, e a taxa de crescimento nessa direção é
.