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Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção de P a Q. Calcule também a direção segundo a qual f cresce mais rapidamente, bem como essa taxa de crescimento:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção de a . Além disso, também precisamos encontrar a direção na qual cresce mais rápido e a taxa de crescimento nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como encontrar a direção de para . Isso é feito calculando o vetor direção a partir de até . A fórmula para isso é:

Passo 3

Agora, vamos transformar esse vetor direção em um vetor unitário, que é necessário para calcular a derivada direcional. A fórmula para o vetor unitário é:
Onde é o comprimento do vetor , calculado por:
Então, o vetor unitário fica:

Passo 4

Para encontrar a derivada direcional de no ponto na direção de , usamos a fórmula:
Aqui, é o gradiente de no ponto , e “ ” representa o produto escalar.

Passo 5

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é um vetor que consiste nas derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então, no ponto :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:

Passo 7

Agora, para encontrar a direção na qual cresce mais rapidamente, utilizamos o gradiente . A direção de máximo crescimento é exatamente a direção do gradiente.
Então, a direção de máximo crescimento é na direção de . Podemos também representar isso como um vetor unitário:

Passo 8

Finalmente, a taxa de crescimento máxima é o comprimento do gradiente no ponto :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de a é . A direção na qual cresce mais rapidamente é na direção do vetor , e a taxa de crescimento nessa direção é .

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