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Calcule a derivada direcional de no ponto na direção de a . Calcule também a direção segundo a qual cresce mais rapidamente, bem como essa taxa de crescimento:

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção de . Além disso, precisamos encontrar a direção na qual a função cresce mais rapidamente e a taxa de crescimento nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como vetores direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de até . Isso nos dará a direção em que vamos calcular a derivada direcional.
O vetor é dado por:

Passo 3

Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento igual a 1. Isso é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
Para isso, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente nos dá a direção de crescimento mais rápido da função e é fundamental para encontrar a derivada direcional.
A função é:
As derivadas parciais são:
No ponto , temos:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :

Passo 6

Agora, para encontrar a direção na qual cresce mais rapidamente, observamos que essa direção é exatamente a direção do gradiente . Então, vamos transformar o gradiente em um vetor unitário para obter a direção.
O gradiente é e o seu comprimento é:
Portanto, o vetor unitário na direção do gradiente é:
A taxa de crescimento mais rápida é dada pelo comprimento do gradiente:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .
A direção na qual cresce mais rapidamente é e a taxa de crescimento nessa direção é .

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