15
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção de
a
. Calcule também a direção segundo a qual
cresce mais rapidamente, bem como essa taxa de crescimento:
Calcule a derivada direcional de
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção de
. Além disso, precisamos encontrar a direção na qual a função cresce mais rapidamente e a taxa de crescimento nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como vetores direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de
até
. Isso nos dará a direção em que vamos calcular a derivada direcional.
O vetor
é dado por:
Passo 3
Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento igual a 1. Isso é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
Para isso, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função
no ponto
. O gradiente nos dá a direção de crescimento mais rápido da função e é fundamental para encontrar a derivada direcional.
A função é:
As derivadas parciais são:
No ponto
, temos:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
A derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Passo 6
Agora, para encontrar a direção na qual
cresce mais rapidamente, observamos que essa direção é exatamente a direção do gradiente
. Então, vamos transformar o gradiente em um vetor unitário para obter a direção.
O gradiente é
e o seu comprimento é:
Portanto, o vetor unitário na direção do gradiente é:
A taxa de crescimento mais rápida é dada pelo comprimento do gradiente:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
A direção na qual
cresce mais rapidamente é
e a taxa de crescimento nessa direção é
.
Exercícios relacionados
Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
Resolva os sistemas de Equações pelo método da substituição:
(15) Scjam
c
dois subconjuntos de
limitados superiormente. Prove que
, onde
Demonstre a unicidade do elemento neutro do produto em
.