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Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção de P a Q. Calcule também a direção segundo a qual f cresce mais rapidamente, bem como essa taxa de crescimento:
ll (a) f(x, y)=x^2 e^-2 y, & P=(2,0), Q=(-3,1) (b) f(x, y)=sin (2 x-y), & P=(-pi / 2, pi / 6), Q=(0,0) (c) f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2, & P=(-2,3,1), Q=(0,-5,4)

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção de . Além disso, precisamos encontrar a direção na qual a função cresce mais rapidamente e a taxa de crescimento nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como vetores direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de PQ = Q - P = (-3 - 2, 1 - 0) = (-5, 1) até . Isso nos dará a direção em que vamos calcular a derivada direcional.
O vetor é dado por:

Passo 3

Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, um vetor com comprimento igual a 1. Isso é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do tamanho do vetor.
Para isso, calculamos o comprimento de |PQ| = raiz(-5)^2 + 1^2 = raiz25 + 1 = raiz26 :
u = ( -5raiz26, 1raiz26 )
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função f(x, y) = x^2 e^-2y no ponto partial fpartial x = 2x e^-2y . O gradiente nos dá a direção de crescimento mais rápido da função e é fundamental para encontrar a derivada direcional.
A função é:
partial fpartial y = -2x^2 e^-2y
As derivadas parciais são:
partial fpartial x(2, 0) = 2 times 2 times e^0 = 4
partial fpartial y(2, 0) = -2 times 2^2 times e^0 = -8
No ponto nabla f(P) = (4, -8) , temos:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A derivada direcional de Du f = nabla f(P) cdot u = (4, -8) cdot ( -5raiz26, 1raiz26 ) = 4 times (-5) + (-8) times 1raiz26 = -20 -8raiz26 = -28raiz26 = -28raiz26 na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :

Passo 6

Agora, para encontrar a direção na qual |nabla f(P)| = raiz4^2 + (-8)^2 = raiz16 + 64 = raiz80 = 4raiz5 cresce mais rapidamente, observamos que essa direção é exatamente a direção do gradiente v = ( 44raiz5, -84raiz5 ) = ( 1raiz5, -2raiz5 ) . Então, vamos transformar o gradiente em um vetor unitário para obter a direção.
O gradiente é |nabla f(P)| = 4raiz5 e o seu comprimento é:
Portanto, o vetor unitário na direção do gradiente é:
A taxa de crescimento mais rápida é dada pelo comprimento do gradiente:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .
A direção na qual cresce mais rapidamente é e a taxa de crescimento nessa direção é .

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