Demonstre a unicidade do elemento neutro do produto em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o elemento neutro do produto nos números reais, R, é único. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente sobre identidade e propriedades de operação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um elemento neutro e como ele funciona na multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento neutro na multiplicação. Um elemento neutro é um número que, quando multiplicado por qualquer outro número real, não altera o valor desse número. Matematicamente, se e é o elemento neutro, então para todo a in R, temos:

Passo 3

Agora, para mostrar que esse elemento neutro é único, vamos supor que existam dois elementos neutros na multiplicação, que vamos chamar de e e f. Queremos provar que e e f são, na verdade, o mesmo número.

Passo 4

Se e é um elemento neutro, então:
Porque, por definição, multiplicar e por qualquer número, incluindo f, deve resultar nesse mesmo número f.

Passo 5

Da mesma forma, já que f também é um elemento neutro:
Ou seja, multiplicar f por qualquer número, incluindo e, deve dar de volta o número e.

Passo 6

Agora, temos duas equações:
Como a multiplicação é comutativa nos reais ( ), podemos igualar as duas expressões:

Passo 7

Então, mostramos que , ou seja, os dois elementos neutros que supusemos inicialmente são iguais. Portanto, o elemento neutro da multiplicação em R é único.

Resposta

O elemento neutro do produto em R é único, ou seja, existe apenas um único número real que, quando multiplicado por qualquer outro número real, não altera seu valor.

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