Demonstre a unicidade do elemento neutro do produto em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o elemento neutro do produto nos números reais,
, é único. Isso envolve conceitos de álgebra, especificamente sobre identidade e propriedades de operação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um elemento neutro e como ele funciona na multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um elemento neutro na multiplicação. Um elemento neutro é um número que, quando multiplicado por qualquer outro número real, não altera o valor desse número. Matematicamente, se
é o elemento neutro, então para todo
, temos:
Passo 3
Agora, para mostrar que esse elemento neutro é único, vamos supor que existam dois elementos neutros na multiplicação, que vamos chamar de
e
. Queremos provar que
e
são, na verdade, o mesmo número.
Passo 4
Se
é um elemento neutro, então:
Porque, por definição, multiplicar
por qualquer número, incluindo
, deve resultar nesse mesmo número
.
Passo 5
Da mesma forma, já que
também é um elemento neutro:
Ou seja, multiplicar
por qualquer número, incluindo
, deve dar de volta o número
.
Passo 6
Agora, temos duas equações:
Como a multiplicação é comutativa nos reais (
), podemos igualar as duas expressões:
Passo 7
Então, mostramos que
, ou seja, os dois elementos neutros que supusemos inicialmente são iguais. Portanto, o elemento neutro da multiplicação em
é único.
Resposta
O elemento neutro do produto em
é único, ou seja, existe apenas um único número real que, quando multiplicado por qualquer outro número real, não altera seu valor.