Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral
é convergente e, se for, calcular o seu valor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e séries do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente. Uma integral imprópria como essa, que vai até o infinito, converge se o limite da integral finita quando o limite superior tende ao infinito existe e é finito. No caso, estamos lidando com uma função do tipo
, onde
.
Passo 3
Existe uma regra prática para esse tipo de integral: a integral
converge se
e diverge se
. Aqui,
, que é maior que 1, então já sabemos que a integral é convergente.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da integral. A antiderivada de
é
. Então, aplicando os limites de integração:
Passo 5
Vamos calcular esse limite. Primeiro, substituímos o infinito:
Depois, substituímos o limite inferior:
Passo 6
Subtraindo esses valores:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.