Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor. integral1^infty 1x^3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral é convergente e, se for, calcular o seu valor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e séries do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente. Uma integral imprópria como essa, que vai até o infinito, converge se o limite da integral finita quando o limite superior tende ao infinito existe e é finito. No caso, estamos lidando com uma função do tipo , onde .

Passo 3

Existe uma regra prática para esse tipo de integral: a integral converge se e diverge se . Aqui, , que é maior que 1, então já sabemos que a integral é convergente.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da integral. A antiderivada de integral1^infty 1x^3 , dx = [ -12x^2 ]1^infty é . Então, aplicando os limites de integração:

Passo 5

Vamos calcular esse limite. Primeiro, substituímos o infinito:
limb to infty -12b^2 = 0
Depois, substituímos o limite inferior:
-12(1)^2 = -12

Passo 6

Subtraindo esses valores:
0 - ( -12 ) = 12

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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