Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral é convergente e, se for, calcular o seu valor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e séries do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente. Uma integral imprópria como essa, que vai até o infinito, converge se o limite da integral finita quando o limite superior tende ao infinito existe e é finito. No caso, estamos lidando com uma função do tipo , onde .

Passo 3

Existe uma regra prática para esse tipo de integral: a integral converge se e diverge se . Aqui, , que é maior que 1, então já sabemos que a integral é convergente.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da integral. A antiderivada de é . Então, aplicando os limites de integração:

Passo 5

Vamos calcular esse limite. Primeiro, substituímos o infinito:
Depois, substituímos o limite inferior:

Passo 6

Subtraindo esses valores:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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Resolva os sistemas de Equações pelo método da substituição:
A derivada de é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
15
Calcule a derivada direcional de no ponto na direção de a . Calcule também a direção segundo a qual cresce mais rapidamente, bem como essa taxa de crescimento:
(15) Scjam c dois subconjuntos de limitados superiormente. Prove que , onde