(15) Scjam
c
dois subconjuntos de
limitados superiormente. Prove que
, onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos
e
de números reais (
), e ambos são limitados superiormente, ou seja, possuem um maior elemento que não é ultrapassado por nenhum outro elemento do conjunto. O objetivo é provar que o supremo da soma desses conjuntos,
, é igual à soma dos supremos de cada conjunto individualmente, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de supremum e propriedades de operações com conjuntos.
Passo 2
Vamos relembrar o que é o supremo. O supremo de um conjunto é o menor número real que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Como
e
são limitados superiormente, sabemos que
e
existem. Além disso, a soma
é definida como o conjunto de todas as somas possíveis
, onde
e
.
Passo 3
Primeiro, vamos mostrar que
é um limite superior para o conjunto
. Ou seja, para qualquer elemento
em
, queremos verificar se
.
Como
está em
, existe
e
tais que
. Sabemos que
e
. Somando essas desigualdades, temos:
Portanto,
é realmente um limite superior para
.
Passo 4
Agora, precisamos provar que
é o menor limite superior possível para
. Para isso, vamos mostrar que, para qualquer
, existe um elemento
tal que:
Como
é o menor limite superior de
, existe algum
que está próximo desse supremo, ou seja,
. Da mesma forma, como
é o menor limite superior de
, existe algum
tal que
.
Então, tomando
, temos:
Passo 5
Isso demonstra que para qualquer
, podemos encontrar um
que está dentro de
do limite superior
. Portanto,
é o menor limite superior possível para
, ou seja,
.
Resposta
Concluímos que
.