(15) Scjam A c B dois subconjuntos de R limitados superiormente. Prove que sup(A+B) = sup(A) + sup(B), onde
A+B={x+y: x em A e y em B}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos e de números reais ( ), e ambos são limitados superiormente, ou seja, possuem um maior elemento que não é ultrapassado por nenhum outro elemento do conjunto. O objetivo é provar que o supremo da soma desses conjuntos, , é igual à soma dos supremos de cada conjunto individualmente, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de supremum e propriedades de operações com conjuntos.

Passo 2

Vamos relembrar o que é o supremo. O supremo de um conjunto é o menor número real que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Como e são limitados superiormente, sabemos que e existem. Além disso, a soma é definida como o conjunto de todas as somas possíveis , onde e .

Passo 3

Primeiro, vamos mostrar que é um limite superior para o conjunto . Ou seja, para qualquer elemento em , queremos verificar se .
Como está em , existe e tais que . Sabemos que e . Somando essas desigualdades, temos:
Portanto, é realmente um limite superior para .

Passo 4

Agora, precisamos provar que é o menor limite superior possível para . Para isso, vamos mostrar que, para qualquer , existe um elemento tal que:
Como é o menor limite superior de , existe algum que está próximo desse supremo, ou seja, . Da mesma forma, como é o menor limite superior de , existe algum tal que .
Então, tomando , temos:

Passo 5

Isso demonstra que para qualquer , podemos encontrar um que está dentro de do limite superior . Portanto, é o menor limite superior possível para , ou seja, .

Resposta

Concluímos que .

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