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O conjunto Pn(R) dos polinômios p(t)=a0+a1 t+ldots+an t^n de grau <= n com coeficientes em R, em relação às operações usuais de adição e multiplicação de escalar de polinômios, é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de f: R R.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem o conjunto , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo com coeficientes reais. A questão quer saber se esse conjunto, considerando as operações comuns de adição de polinômios e multiplicação por escalar, forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as funções de para . Para resolver isso, vamos precisar revisar o que define um subespaço vetorial e verificar se satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde a gente pode fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e essas operações obedecem a algumas regras específicas (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.). Um subespaço é simplesmente um subconjunto desse espaço vetorial que também é um espaço vetorial por si só.

Passo 3

Para provar que é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
  1. Não-vazio: O conjunto não está vazio.
  2. Fechado sob a adição: Se você pegar dois polinômios no conjunto e somar, o resultado ainda está no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um polinômio no conjunto e multiplicar por um escalar, o resultado ainda está no conjunto.

Passo 4

1. Não-vazio: Vamos verificar se não está vazio. Bem, o polinômio zero, que é , é um polinômio de grau menor ou igual a (na verdade, não tem termo de grau nenhum), então ele está em . Portanto, o conjunto não está vazio.

Passo 5

2. Fechado sob a adição: Vamos pegar dois polinômios quaisquer em p(t) + q(t) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t + ldots + (an + bn)t^n , digamos e . Se somarmos esses dois polinômios, temos:
Note que o grau do polinômio resultante ainda é no máximo , pois estamos somando termos de mesmo grau. Portanto, também está em , mostrando que o conjunto é fechado sob adição.

Passo 6

3. Fechado sob multiplicação por escalar: Agora, vamos pegar um polinômio qualquer em c cdot p(t) = c a0 + c a1t + ldots + c ant^n , digamos , e multiplicar por um escalar (um número real). Temos:
Como cada coeficiente ainda é um número real e o grau do polinômio permanece no máximo , o polinômio resultante também está em . Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é realmente um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de para .

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