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O conjunto dos polinômios de grau com coeficientes em , em relação às operações usuais de adição e multiplicação de escalar de polinômios, é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem o conjunto , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo com coeficientes reais. A questão quer saber se esse conjunto, considerando as operações comuns de adição de polinômios e multiplicação por escalar, forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as funções de para . Para resolver isso, vamos precisar revisar o que define um subespaço vetorial e verificar se satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde a gente pode fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e essas operações obedecem a algumas regras específicas (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.). Um subespaço é simplesmente um subconjunto desse espaço vetorial que também é um espaço vetorial por si só.
Passo 3
Para provar que é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
Não-vazio: O conjunto não está vazio.
Fechado sob a adição: Se você pegar dois polinômios no conjunto e somar, o resultado ainda está no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um polinômio no conjunto e multiplicar por um escalar, o resultado ainda está no conjunto.
Passo 4
1. Não-vazio: Vamos verificar se não está vazio. Bem, o polinômio zero, que é , é um polinômio de grau menor ou igual a (na verdade, não tem termo de grau nenhum), então ele está em . Portanto, o conjunto não está vazio.
Passo 5
2. Fechado sob a adição: Vamos pegar dois polinômios quaisquer em , digamos e . Se somarmos esses dois polinômios, temos:
Note que o grau do polinômio resultante ainda é no máximo , pois estamos somando termos de mesmo grau. Portanto, também está em , mostrando que o conjunto é fechado sob adição.
Passo 6
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Agora, vamos pegar um polinômio qualquer em , digamos , e multiplicar por um escalar (um número real). Temos:
Como cada coeficiente ainda é um número real e o grau do polinômio permanece no máximo , o polinômio resultante também está em . Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é realmente um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de para .