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O conjunto
dos polinômios
de grau
com coeficientes em
, em relação às operações usuais de adição e multiplicação de escalar de polinômios, é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de
.
O conjunto
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem o conjunto
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo
com coeficientes reais. A questão quer saber se esse conjunto, considerando as operações comuns de adição de polinômios e multiplicação por escalar, forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as funções de
para
. Para resolver isso, vamos precisar revisar o que define um subespaço vetorial e verificar se
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde a gente pode fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e essas operações obedecem a algumas regras específicas (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.). Um subespaço é simplesmente um subconjunto desse espaço vetorial que também é um espaço vetorial por si só.
Passo 3
Para provar que
é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
- Não-vazio: O conjunto não está vazio.
- Fechado sob a adição: Se você pegar dois polinômios no conjunto e somar, o resultado ainda está no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um polinômio no conjunto e multiplicar por um escalar, o resultado ainda está no conjunto.
Passo 4
1. Não-vazio: Vamos verificar se
não está vazio. Bem, o polinômio zero, que é
, é um polinômio de grau menor ou igual a
(na verdade, não tem termo de grau nenhum), então ele está em
. Portanto, o conjunto não está vazio.
Passo 5
2. Fechado sob a adição: Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
, digamos
e
. Se somarmos esses dois polinômios, temos:
Note que o grau do polinômio resultante ainda é no máximo
, pois estamos somando termos de mesmo grau. Portanto,
também está em
, mostrando que o conjunto é fechado sob adição.
Passo 6
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Agora, vamos pegar um polinômio qualquer em
, digamos
, e multiplicar por um escalar
(um número real). Temos:
Como cada coeficiente
ainda é um número real e o grau do polinômio permanece no máximo
, o polinômio resultante
também está em
. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é realmente um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de
para
.