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Sejam e dois subespaços de . Mostre que a união desses dois subespaços não é um subespaço vetorial.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos no plano :
  • : todos os vetores que estão no eixo .
  • : todos os vetores que estão no eixo .
O conteúdo que vamos usar aqui é o de subespaços vetoriais. Um subespaço vetorial é um conjunto que, além de conter o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar. Queremos mostrar que a união desses dois conjuntos, , não é um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que um subespaço vetorial deve satisfazer:
  1. Contém o vetor zero: Sim, tanto quanto contêm o vetor .
  2. Fechado para adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Vamos examinar a propriedade de fechadura para adição. Pegue um vetor de , por exemplo, , e um vetor de , por exemplo, . Agora, vamos somá-los:
O vetor resultante é . Agora, vamos verificar se está em :
  • Em ? Não, porque para estar em o segundo componente deve ser , mas aqui é .
  • Em ? Não, porque para estar em o primeiro componente deve ser , mas aqui é .
Como não está nem em nem em , isso significa que a união não está fechada para adição.

Resposta

Portanto, a união de e não é um subespaço vetorial de porque não satisfaz a propriedade de fechadura para adição.

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b)
Escrever todos os produtos onde e são permutações de