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Sejam U=(x, 0) in R^2 ; x in R e W=(0, y) in R^2 ; y in R dois subespaços de R^2. Mostre que a união desses dois subespaços não é um subespaço vetorial.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos no plano R^2:
  • U = (x, 0) in R^2 ; x in R: todos os vetores que estão no eixo x.
  • W = (0, y) in R^2 ; y in R: todos os vetores que estão no eixo y.
O conteúdo que vamos usar aqui é o de subespaços vetoriais. Um subespaço vetorial é um conjunto que, além de conter o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar. Queremos mostrar que a união desses dois conjuntos, U cup W, não é um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que um subespaço vetorial deve satisfazer:
  1. Contém o vetor zero: Sim, tanto U quanto W contêm o vetor (0,0).
  2. Fechado para adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar se U cup W satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Vamos examinar a propriedade de fechadura para adição. Pegue um vetor de U, por exemplo, (1, 0), e um vetor de W, por exemplo, (0, 1). Agora, vamos somá-los:
(1, 0) + (0, 1) = (1 + 0, 0 + 1) = (1, 1)
O vetor resultante é (1, 1). Agora, vamos verificar se (1, 1) está em U cup W:
  • Em U? Não, porque para estar em U o segundo componente deve ser 0, mas aqui é 1.
  • Em W? Não, porque para estar em W o primeiro componente deve ser 0, mas aqui é 1.
Como (1, 1) não está nem em U nem em W, isso significa que a união U cup W não está fechada para adição.

Resposta

Portanto, a união de U e W não é um subespaço vetorial de R^2 porque não satisfaz a propriedade de fechadura para adição.

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