17
Sejam
e
dois subespaços de
. Mostre que a união desses dois subespaços não é um subespaço vetorial.
Sejam
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos no plano
:
-
: todos os vetores que estão no eixo . -
: todos os vetores que estão no eixo .
O conteúdo que vamos usar aqui é o de subespaços vetoriais. Um subespaço vetorial é um conjunto que, além de conter o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar. Queremos mostrar que a união desses dois conjuntos,
, não é um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que um subespaço vetorial deve satisfazer:
- Contém o vetor zero: Sim, tanto
quanto contêm o vetor . - Fechado para adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Vamos examinar a propriedade de fechadura para adição. Pegue um vetor de
, por exemplo,
, e um vetor de
, por exemplo,
. Agora, vamos somá-los:
O vetor resultante é
. Agora, vamos verificar se
está em
:
- Em
? Não, porque para estar em o segundo componente deve ser , mas aqui é . - Em
? Não, porque para estar em o primeiro componente deve ser , mas aqui é .
Como
não está nem em
nem em
, isso significa que a união
não está fechada para adição.
Resposta
Portanto, a união de
e
não é um subespaço vetorial de
porque não satisfaz a propriedade de fechadura para adição.
Exercícios relacionados
15
O conjunto dos polinômios
de grau
com coeficientes em
, em relação às operações usuais de adição e multiplicação de escalar de polinômios, é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de
.
O conjunto
Seja
definida por
. Determine a matriz de
em relaçāo à base
.
Seja
o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de
.
b)
b)
Escrever todos os produtos
onde
e
são permutações de