Seja F: R^2 longrightarrow R^2 definida por F(x, y)=(2 x, x+y). Determine a matriz de F em relaçāo à base beta=(1,2),(-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a matriz da transformação linear definida por em relação à base .
Aqui, vamos trabalhar com transformações lineares e mudança de base. Precisamos encontrar como a transformação age nos vetores da base e expressar esses resultados na mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores da base v1 = (1, 2) e v2 = (-1, 0) :
Nosso objetivo é aplicar a transformação em cada um desses vetores e depois expressar o resultado novamente na base .

Passo 3

Vamos aplicar F(v1) = F(1, 2) = (2 cdot 1, 1 + 2) = (2, 3) ao primeiro vetor da base, (2, 3) = a cdot (1, 2) + b cdot (-1, 0) :
1a - 1b = 2 2a + 0b = 3
Agora, precisamos expressar 2a = 3 Rightarrow a = 32 como combinação linear dos vetores da base 32 - b = 2 Rightarrow b = 32 - 2 = -12 :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o segundo equação primeiro:
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar F(v2) = F(-1, 0) = (2 cdot (-1), -1 + 0) = (-2, -1) ao segundo vetor da base, (-2, -1) = c cdot (1, 2) + d cdot (-1, 0) :
1c - 1d = -2 2c + 0d = -1
Expressando 2c = -1 Rightarrow c = -12 como combinação linear dos vetores da base -12 - d = -2 Rightarrow d = -12 + 2 = 32 :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o segundo equação primeiro:
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 5

Agora que temos como Matriz de F = 32 & -12 -12 & 32 atua nos vetores da base , podemos montar a matriz de em relação a . Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes obtidos nas combinações lineares:

Resposta

A matriz de 32 & -12 -12 & 32 em relação à base é:

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