Seja definida por . Determine a matriz de em relaçāo à base .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a matriz da transformação linear definida por em relação à base .
Aqui, vamos trabalhar com transformações lineares e mudança de base. Precisamos encontrar como a transformação age nos vetores da base e expressar esses resultados na mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores da base :
Nosso objetivo é aplicar a transformação em cada um desses vetores e depois expressar o resultado novamente na base .

Passo 3

Vamos aplicar ao primeiro vetor da base, :
Agora, precisamos expressar como combinação linear dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o segundo equação primeiro:
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar ao segundo vetor da base, :
Expressando como combinação linear dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o segundo equação primeiro:
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 5

Agora que temos como atua nos vetores da base , podemos montar a matriz de em relação a . Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes obtidos nas combinações lineares:

Resposta

A matriz de em relação à base é:

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