Seja definida por . Determine a matriz de em relaçāo à base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a matriz da transformação linear definida por em relação à base .
Aqui, vamos trabalhar com transformações lineares e mudança de base. Precisamos encontrar como a transformação age nos vetores da base e expressar esses resultados na mesma base.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores da base :
Nosso objetivo é aplicar a transformação em cada um desses vetores e depois expressar o resultado novamente na base .
Passo 3
Vamos aplicar ao primeiro vetor da base, :
Agora, precisamos expressar como combinação linear dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o segundo equação primeiro:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Passo 4
Agora, vamos aplicar ao segundo vetor da base, :
Expressando como combinação linear dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o segundo equação primeiro:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Passo 5
Agora que temos como atua nos vetores da base , podemos montar a matriz de em relação a . Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes obtidos nas combinações lineares: