Seja
definida por
. Determine a matriz de
em relaçāo à base
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a matriz da transformação linear
definida por
em relação à base
.
Aqui, vamos trabalhar com transformações lineares e mudança de base. Precisamos encontrar como a transformação
age nos vetores da base
e expressar esses resultados na mesma base.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores da base
:
Nosso objetivo é aplicar a transformação
em cada um desses vetores e depois expressar o resultado novamente na base
.
Passo 3
Vamos aplicar
ao primeiro vetor da base,
:
Agora, precisamos expressar
como combinação linear dos vetores da base
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o segundo equação primeiro:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar
ao segundo vetor da base,
:
Expressando
como combinação linear dos vetores da base
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o segundo equação primeiro:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos como
atua nos vetores da base
, podemos montar a matriz de
em relação a
. Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes obtidos nas combinações lineares:
Resposta
A matriz de
em relação à base
é: