Seja V=f: R R o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de V.
b) S2=f: R R ; f(-x)=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Isso está dentro do estudo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, a gente precisa verificar se satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de objetos (no caso, funções) que podem ser somados entre si e multiplicados por números (escalars), seguindo certas regras. Um subespaço é simplesmente um conjunto dentro desse espaço que também é um espaço vetorial por si só.

Passo 3

A primeira condição que precisamos verificar é se contém o vetor nulo. No contexto de funções, o vetor nulo é a função que atribui zero para todo . Vamos verificar:
Se para todo , então . Logo, a função nula está em .

Passo 4

Agora, vamos ver se (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos duas funções e em , então também deve estar em .
Se e , então:
Então, também satisfaz a condição de , ou seja, é fechado sob adição.

Passo 5

Por fim, vamos verificar se (c cdot f)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot f(x) = (c cdot f)(x) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se está em e é um número real, então também deve estar em .
Se , então:
Portanto, também satisfaz a condição de , ou seja, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor nulo, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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