Seja
o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Isso está dentro do estudo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, a gente precisa verificar se
satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de objetos (no caso, funções) que podem ser somados entre si e multiplicados por números (escalars), seguindo certas regras. Um subespaço é simplesmente um conjunto dentro desse espaço que também é um espaço vetorial por si só.
Passo 3
A primeira condição que precisamos verificar é se
contém o vetor nulo. No contexto de funções, o vetor nulo é a função que atribui zero para todo
. Vamos verificar:
Se
para todo
, então
. Logo, a função nula está em
.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos duas funções
e
em
, então
também deve estar em
.
Se
e
, então:
Então,
também satisfaz a condição de
, ou seja,
é fechado sob adição.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se
está em
e
é um número real, então
também deve estar em
.
Se
, então:
Portanto,
também satisfaz a condição de
, ou seja,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor nulo, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
17
Sejam e
dois subespaços de
. Mostre que a união desses dois subespaços não é um subespaço vetorial.
Sejam
15
O conjunto dos polinômios
de grau
com coeficientes em
, em relação às operações usuais de adição e multiplicação de escalar de polinômios, é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de
.
O conjunto
Escrever todos os produtos
onde
e
são permutações de
Escrever todos os produtos
onde
e
são permutações de