(a) Se é uma matriz retângular, tal que é invertível, verifique que a matriz é uma inversa à esquerda de .
(b) Se é uma matriz retângular, tal que é invertível, verifique que a matriz é uma inversa à direita de .
© Se possível, determine uma matriz inversa à esquerda de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma matriz que pode ser retangular, ou seja, não precisa ser quadrada. Nos três itens (a), (b) e ©, a gente vai explorar as condições para que certas matrizes sejam inversas à esquerda ou à direita de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes transpostas, inversas e como elas se comportam quando multiplicadas. Vamos nessa!

Passo 2

Item (a)

O que precisa mostrar: Se é invertível, então a matriz é uma inversa à esquerda de .
Como resolver:
Para provar que é uma inversa à esquerda de , precisamos mostrar que , onde é a matriz identidade.
Passo a passo:
  1. Escrevemos .
  2. Observamos que multiplicado por seu inverso resulta na matriz identidade .
  3. Portanto, .
Conclusão: realmente é uma inversa à esquerda de .

Passo 3

Item (b)

O que precisa mostrar: Se é invertível, então a matriz é uma inversa à direita de .
Como resolver:
Para provar que é uma inversa à direita de , precisamos mostrar que .
Passo a passo:
  1. Calculamos .
  2. Novamente, vemos que multiplicado por seu inverso dá a identidade .
  3. Assim, .
Conclusão: é de fato uma inversa à direita de .

Passo 4

Item ©

O que precisa fazer: Determinar uma matriz inversa à esquerda de , onde:
Como resolver:
Primeiro, precisamos verificar se é invertível, já que se for, podemos usar o item (a) para encontrar a inversa à esquerda.
Passo a passo:
  1. Calculamos :
  1. Verificamos se é invertível calculando seu determinante:
Como o determinante é diferente de zero, é invertível.
  1. Agora, usamos a fórmula do item (a) para encontrar a inversa à esquerda :
  1. Calculamos . Para uma matriz :
  1. Multiplicamos por :
  1. Realizamos a multiplicação:
Conclusão: A matriz inversa à esquerda de é:

Resposta

(a) A matriz é uma inversa à esquerda de .
(b) A matriz é uma inversa à direita de .
© Uma inversa à esquerda de é:

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