(a) Se A é uma matriz retângular, tal que A^t A é invertível, verifique que a matriz B=(A^t A)^-1 A^t é uma inversa à esquerda de A.
(b) Se A é uma matriz retângular, tal que A A^t é invertível, verifique que a matriz C=A^t(A A^t)^-1 é uma inversa à direita de A.
© Se possível, determine uma matriz inversa à esquerda de A=[cc1 & 2 -1 & 0 2 & 2 1 & -1].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma matriz que pode ser retangular, ou seja, não precisa ser quadrada. Nos três itens (a), (b) e ©, a gente vai explorar as condições para que certas matrizes sejam inversas à esquerda ou à direita de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes transpostas, inversas e como elas se comportam quando multiplicadas. Vamos nessa!

Passo 2

Item (a)

O que precisa mostrar: Se é invertível, então a matriz é uma inversa à esquerda de .
Como resolver:
Para provar que é uma inversa à esquerda de , precisamos mostrar que , onde é a matriz identidade.
Passo a passo:
  1. Escrevemos .
  2. Observamos que multiplicado por seu inverso resulta na matriz identidade .
  3. Portanto, .
Conclusão: realmente é uma inversa à esquerda de .

Passo 3

Item (b)

O que precisa mostrar: Se é invertível, então a matriz é uma inversa à direita de .
Como resolver:
Para provar que é uma inversa à direita de , precisamos mostrar que .
Passo a passo:
  1. Calculamos .
  2. Novamente, vemos que multiplicado por seu inverso dá a identidade .
  3. Assim, .
Conclusão: é de fato uma inversa à direita de .

Passo 4

Item ©

O que precisa fazer: Determinar uma matriz inversa à esquerda de A = 1 & 2 -1 & 0 2 & 2 1 & -1 , onde:
A^t A = 1 & -1 & 2 & 1 2 & 0 & 2 & -1 1 & 2 -1 & 0 2 & 2 1 & -1 = 1(1) + (-1)(-1) + 2(2) + 1(1) & 1(2) + (-1)(0) + 2(2) + 1(-1) 2(1) + 0(-1) + 2(2) + (-1)(1) & 2(2) + 0(0) + 2(2) + (-1)(-1)
Como resolver:
Primeiro, precisamos verificar se = 1 + 1 + 4 + 1 & 2 + 0 + 4 -1 2 + 0 + 4 -1 & 4 + 0 + 4 +1 = 7 & 5 5 & 9 é invertível, já que se for, podemos usar o item (a) para encontrar a inversa à esquerda.
Passo a passo:
  1. Calculamos det(A^t A) = (7)(9) - (5)(5) = 63 - 25 = 38 neq 0 :
B = (A^t A)^-1 A^t
(A^t A)^-1 = 1det(A^t A) 9 & -5 -5 & 7 = 138 9 & -5 -5 & 7
  1. Verificamos se B = 138 9 & -5 -5 & 7 1 & -1 & 2 & 1 2 & 0 & 2 & -1 é invertível calculando seu determinante:
B = 138 9(1) + (-5)(2) & 9(-1) + (-5)(0) & 9(2) + (-5)(2) & 9(1) + (-5)(-1) -5(1) + 7(2) & -5(-1) + 7(0) & -5(2) + 7(2) & -5(1) + 7(-1)
Como o determinante é diferente de zero, = 138 9 -10 & -9 +0 & 18 -10 & 9 +5 -5 +14 & 5 +0 & -10 +14 & -5 -7 = 138 -1 & -9 & 8 & 14 9 & 5 & 4 & -12 é invertível.
  1. Agora, usamos a fórmula do item (a) para encontrar a inversa à esquerda B = 138 -1 & -9 & 8 & 14 9 & 5 & 4 & -12 :
  1. Calculamos . Para uma matriz :
  1. Multiplicamos por :
  1. Realizamos a multiplicação:
Conclusão: A matriz inversa à esquerda de é:

Resposta

(a) A matriz B = 138 -1 & -9 & 8 & 14 9 & 5 & 4 & -12 é uma inversa à esquerda de .
(b) A matriz é uma inversa à direita de .
© Uma inversa à esquerda de é:

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