(a) Se
é uma matriz retângular, tal que
é invertível, verifique que a matriz
é uma inversa à esquerda de
.
(b) Se
é uma matriz retângular, tal que
é invertível, verifique que a matriz
é uma inversa à direita de
.
© Se possível, determine uma matriz inversa à esquerda de
.
(b) Se
© Se possível, determine uma matriz inversa à esquerda de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma matriz
que pode ser retangular, ou seja, não precisa ser quadrada. Nos três itens (a), (b) e ©, a gente vai explorar as condições para que certas matrizes sejam inversas à esquerda ou à direita de
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes transpostas, inversas e como elas se comportam quando multiplicadas. Vamos nessa!
Passo 2
Item (a)
O que precisa mostrar: Se
é invertível, então a matriz
é uma inversa à esquerda de
.
Como resolver:
Para provar que é uma inversa à esquerda de
, precisamos mostrar que
, onde
é a matriz identidade.
Para provar que
Passo a passo:
- Escrevemos
. - Observamos que
multiplicado por seu inverso resulta na matriz identidade . - Portanto,
.
Conclusão:
realmente é uma inversa à esquerda de
.
Passo 3
Item (b)
O que precisa mostrar: Se
é invertível, então a matriz
é uma inversa à direita de
.
Como resolver:
Para provar que é uma inversa à direita de
, precisamos mostrar que
.
Para provar que
Passo a passo:
- Calculamos
. - Novamente, vemos que
multiplicado por seu inverso dá a identidade . - Assim,
.
Conclusão:
é de fato uma inversa à direita de
.
Passo 4
Item ©
O que precisa fazer: Determinar uma matriz inversa à esquerda de
A = 1 & 2 -1 & 0 2 & 2 1 & -1 , onde:
Como resolver:
Primeiro, precisamos verificar se = 1 + 1 + 4 + 1 & 2 + 0 + 4 -1 2 + 0 + 4 -1 & 4 + 0 + 4 +1 = 7 & 5 5 & 9 é invertível, já que se for, podemos usar o item (a) para encontrar a inversa à esquerda.
Primeiro, precisamos verificar se
Passo a passo:
- Calculamos
:det(A^t A) = (7)(9) - (5)(5) = 63 - 25 = 38 neq 0
- Verificamos se
é invertível calculando seu determinante:B = 138 9 & -5 -5 & 7 1 & -1 & 2 & 1 2 & 0 & 2 & -1
Como o determinante é diferente de zero,
= 138 9 -10 & -9 +0 & 18 -10 & 9 +5 -5 +14 & 5 +0 & -10 +14 & -5 -7 = 138 -1 & -9 & 8 & 14 9 & 5 & 4 & -12 é invertível.
- Agora, usamos a fórmula do item (a) para encontrar a inversa à esquerda
:B = 138 -1 & -9 & 8 & 14 9 & 5 & 4 & -12
- Calculamos
. Para uma matriz :
- Multiplicamos
por :
- Realizamos a multiplicação:
Conclusão: A matriz inversa à esquerda de
é:
Resposta
(a) A matriz
B = 138 -1 & -9 & 8 & 14 9 & 5 & 4 & -12 é uma inversa à esquerda de
.
(b) A matriz
é uma inversa à direita de
.
© Uma inversa à esquerda de
é: