Sejam os vetores e v=[r3 1 2 -1] em R^4. Quais são os coeficientes da combinação linear que resulta em w ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , que estão no espaço . A questão pede para encontrar os coeficientes e que, quando usados em uma combinação linear desses vetores, resultam em outro vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dá pra imaginar que a combinação linear de c1 u + c2 v = w e é como uma mistura desses dois vetores usando os coeficientes e . Matematicamente, isso fica assim:
Onde e são os vetores dados, e é o vetor que queremos obter.
Passo 3
Vamos escrever isso de forma mais detalhada. Sabemos que:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar - c1 + 3 c2 = w1 (1) e 3 c1 + c2 = w2 (2) . Vamos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos começar com as primeiras duas equações para simplificar.