Sejam os vetores u=[r-1 3 1 3] e v=[r3 1 2 -1] em R^4. Quais são os coeficientes da combinação linear que resulta em w ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , que estão no espaço . A questão pede para encontrar os coeficientes e que, quando usados em uma combinação linear desses vetores, resultam em outro vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dá pra imaginar que a combinação linear de c1 u + c2 v = w e é como uma mistura desses dois vetores usando os coeficientes e . Matematicamente, isso fica assim:
Onde e são os vetores dados, e é o vetor que queremos obter.

Passo 3

Vamos escrever isso de forma mais detalhada. Sabemos que:
u = -1 3 1 3 , v = 3 1 2 -1 , w = w1 w2 w3 w4
Então, a combinação linear fica:
c1 -1 3 1 3 + c2 3 1 2 -1 = w1 w2 w3 w4
Isso dá um sistema de quatro equações:
-1 cdot c1 + 3 cdot c2 = w1 3 cdot c1 + 1 cdot c2 = w2 1 cdot c1 + 2 cdot c2 = w3 3 cdot c1 -1 cdot c2 = w4

Passo 4

Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar - c1 + 3 c2 = w1 (1) e 3 c1 + c2 = w2 (2) . Vamos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos começar com as primeiras duas equações para simplificar.
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 5

Vamos resolver a equação (1) para - c1 = w1 - 3 c2 c1 = -w1 + 3 c2 (3) :
3(-w1 + 3 c2) + c2 = w2 -3 w1 + 9 c2 + c2 = w2 -3 w1 + 10 c2 = w2 10 c2 = w2 + 3 w1 c2 = w2 + 3 w110
Agora, substituímos da equação (3) na equação (2):

Passo 6

Com c1 = -w1 + 3 ( w2 + 3 w110 ) c1 = -w1 + 3 w2 + 9 w110 c1 = -10 w1 + 3 w2 + 9 w110 c1 = -w1 + 3 w210 encontrado, voltamos para a equação (3) para encontrar :

Passo 7

Então, os coeficientes são:
c1 = -w1 + 3 w210, c2 = w2 + 3 w110
Essas fórmulas nos dizem como combinar e para obter , desde que esteja no espaço gerado por e .

Resposta

Os coeficientes são e .

Exercícios relacionados