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Determine o cosseno do ângulo entre as seguintes retas
(a)
e
Determine o cosseno do ângulo entre as seguintes retas
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar vetores diretores das retas e a fórmula do produto escalar. Precisamos identificar os vetores diretores de cada reta e depois aplicar a fórmula para achar o cosseno do ângulo entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas dadas.
Para a reta
:
A equação é e
. Isso significa que
e
são constantes, então a reta varia apenas na direção de
. Portanto, o vetor diretor é:
A equação é
Passo 3
Para a reta
:
A equação é . Aqui, os denominadores das frações nos dão as componentes do vetor diretor. Assim, o vetor diretor é:
A equação é
Passo 4
Agora que temos os vetores diretores, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo
entre eles:
Onde:
-
é o produto escalar. -
e são as magnitudes dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
Resposta
O cosseno do ângulo entre as retas
e
é
ou aproximadamente 0,4264.
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.
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