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Determine o cosseno do ângulo entre as seguintes retas
(a) r1:lx=2 z=1 e r2: x-23=y+12=z-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar vetores diretores das retas e a fórmula do produto escalar. Precisamos identificar os vetores diretores de cada reta e depois aplicar a fórmula para achar o cosseno do ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas dadas.
Para a reta d1 = (0, 1, 0) :
A equação é e . Isso significa que e são constantes, então a reta varia apenas na direção de . Portanto, o vetor diretor é:

Passo 3

Para a reta d2 = (3, 2, -3) :
A equação é . Aqui, os denominadores das frações nos dão as componentes do vetor diretor. Assim, o vetor diretor é:

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo costheta = d1 cdot d2|d1| cdot |d2| entre eles:
Onde:
  • é o produto escalar.
  • e são as magnitudes dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar d1 cdot d2 = (0)(3) + (1)(2) + (0)(-3) = 0 + 2 + 0 = 2 :

Passo 6

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
|d1| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 = 1
|d2| = raiz3^2 + 2^2 + (-3)^2 = raiz9 + 4 + 9 = raiz22

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
costheta = 21 times raiz22 = 2raiz22 approx 0,4264

Resposta

O cosseno do ângulo entre as retas e é ou aproximadamente 0,4264.

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