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Determine o cosseno do ângulo entre as seguintes retas
(a) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar vetores diretores das retas e a fórmula do produto escalar. Precisamos identificar os vetores diretores de cada reta e depois aplicar a fórmula para achar o cosseno do ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas dadas.
Para a reta :
A equação é e . Isso significa que e são constantes, então a reta varia apenas na direção de . Portanto, o vetor diretor é:

Passo 3

Para a reta :
A equação é . Aqui, os denominadores das frações nos dão as componentes do vetor diretor. Assim, o vetor diretor é:

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo entre eles:
Onde:
  • é o produto escalar.
  • e são as magnitudes dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:

Resposta

O cosseno do ângulo entre as retas e é ou aproximadamente 0,4264.

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