(2,0 pontos) Determine o(s) valor(es) de tais que o sistema de equações lineares
Tenha infinitas soluções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os valores de rcl x - y + (m^2 - 7) z &=& m + 3 x &=& 3 x - y + 2 z &=& 6 que fazem com que o seguinte sistema de equações lineares tenha infinitas soluções:
Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e condições para que eles tenham infinitas soluções.
Passo 2
Primeiro, observamos que a segunda equação já nos dá o valor de x = 3 :
Isso simplifica nosso sistema, já que podemos substituir nas outras equações.
Passo 3
Substituindo 3 - y + (m^2 - 7) z = m + 3 na primeira equação:
- y + (m^2 - 7) z = m + 3 - 3 - y + (m^2 - 7) z = m
Vamos simplificar essa equação:
Passo 4
Agora, substituímos 3 - y + 2 z = 6 na terceira equação:
- y + 2 z = 6 - 3 - y + 2 z = 3
Simplificando:
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( rcl - y + (m^2 - 7) z &=& m - y + 2 z &=& 3 e ):
Para que esse sistema tenha infinitas soluções, as duas equações devem ser equivalentes, ou seja, uma deve ser múltiplo da outra.
Passo 6
Vamos comparar os coeficientes das duas equações:
Primeira equação:
Coeficiente de -1-1 = m^2 - 72 = m3 : -1
Coeficiente de 1 = m^2 - 72 2 = m^2 - 7 m^2 = 9 m = pm 3 :
Termo constante:
Segunda equação:
Coeficiente de : -1
Coeficiente de : 2
Termo constante: 3
Para que uma equação seja múltiplo da outra, os coeficientes correspondentes devem ter a mesma proporção. Então:
Simplificando a primeira igualdade:
Passo 7
Vamos verificar se m^2 - 72 = 9 - 72 = 22 = 1 m3 = 33 = 1 e m^2 - 72 = 9 - 72 = 22 = 1 m3 = -33 = -1 satisfazem a segunda igualdade:
Para :
Igualdade satisfeita.
Para :
Igualdade não satisfeita.
Resposta
O valor de que faz com que o sistema tenha infinitas soluções é .