(2,0 pontos) Determine o(s) valor(es) de tais que o sistema de equações lineares
Tenha infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os valores de que fazem com que o seguinte sistema de equações lineares tenha infinitas soluções:
Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e condições para que eles tenham infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, observamos que a segunda equação já nos dá o valor de :
Isso simplifica nosso sistema, já que podemos substituir nas outras equações.

Passo 3

Substituindo na primeira equação:
Vamos simplificar essa equação:

Passo 4

Agora, substituímos na terceira equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( e ):
Para que esse sistema tenha infinitas soluções, as duas equações devem ser equivalentes, ou seja, uma deve ser múltiplo da outra.

Passo 6

Vamos comparar os coeficientes das duas equações:
Primeira equação:
  • Coeficiente de : -1
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Segunda equação:
  • Coeficiente de : -1
  • Coeficiente de : 2
  • Termo constante: 3
Para que uma equação seja múltiplo da outra, os coeficientes correspondentes devem ter a mesma proporção. Então:
Simplificando a primeira igualdade:

Passo 7

Vamos verificar se e satisfazem a segunda igualdade:
Para :
Igualdade satisfeita.
Para :
Igualdade não satisfeita.

Resposta

O valor de que faz com que o sistema tenha infinitas soluções é .

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