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é uma matriz simétrica?
Passo 1
Vamos entender a questão. Estamos perguntando se o produto de duas matrizes inversas,
, é uma matriz simétrica. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades de matrizes inversas e simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. Então, para
ser simétrica, precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular a transposta do produto
. Sabemos que a transposta de um produto de matrizes segue a regra:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, lembramos que a transposta da matriz inversa é igual à inversa da transposta:
Além disso, a transposta de um produto de matrizes é a ordem invertida das transpostas:
Portanto:
Passo 5
Substituindo na expressão da transposta do produto, temos:
Para que
seja simétrica, precisaríamos que:
Isso só aconteceria se
comute com sua transposta, o que não é garantido a menos que
seja uma matriz simétrica e que
e
tenham propriedades específicas.
Resposta
Não, a matriz
não é necessariamente simétrica.
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.
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