(1,0 ponto) (A B)^-1 cdot(A B)^-1 é uma matriz simétrica?

Passo 1

Vamos entender a questão. Estamos perguntando se o produto de duas matrizes inversas, , é uma matriz simétrica. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades de matrizes inversas e simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz (A B)^-1 cdot (A B)^-1 = ( (A B)^-1 cdot (A B)^-1 )^T é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Então, para ser simétrica, precisamos que:

Passo 3

Vamos calcular a transposta do produto (M cdot N)^T = N^T cdot M^T . Sabemos que a transposta de um produto de matrizes segue a regra:
( (A B)^-1 cdot (A B)^-1 )^T = ( (A B)^-1 )^T cdot ( (A B)^-1 )^T
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, lembramos que a transposta da matriz inversa é igual à inversa da transposta:
( (A B)^-1 )^T = ( (A B)^T )^-1
Além disso, a transposta de um produto de matrizes é a ordem invertida das transpostas:
(A B)^T = B^T cdot A^T
Portanto:
( (A B)^-1 )^T = ( B^T cdot A^T )^-1 = (A^T)^-1 cdot (B^T)^-1

Passo 5

Substituindo na expressão da transposta do produto, temos:
( (A B)^-1 cdot (A B)^-1 )^T = (A^T)^-1 cdot (B^T)^-1 cdot (A^T)^-1 cdot (B^T)^-1
Para que (A B)^-1 cdot (A B)^-1 = (A^T)^-1 cdot (B^T)^-1 cdot (A^T)^-1 cdot (B^T)^-1 seja simétrica, precisaríamos que:
Isso só aconteceria se comute com sua transposta, o que não é garantido a menos que seja uma matriz simétrica e que e tenham propriedades específicas.

Resposta

Não, a matriz não é necessariamente simétrica.

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