(3-3) Find an equation of the plane.
27. The plane through the origin and parallel to the plane
27. The plane through the origin and parallel to the plane
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pela origem (ponto (0, 0, 0)) e que é paralelo ao plano dado pela equação
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano dado. O vetor normal é um vetor que é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Na equação geral de um plano
, os coeficientes
,
e
correspondem aos componentes do vetor normal.
No nosso caso, o plano dado é
. Aqui, os coeficientes são:
Então, o vetor normal do plano é
.
Passo 3
Como queremos um plano que seja paralelo ao plano dado, ele deve ter o mesmo vetor normal. Portanto, o vetor normal do nosso novo plano também será
.
A forma geral da equação de um plano é:
Onde
são os componentes do vetor normal e
é a distância do plano em relação à origem.
Passo 4
Como o plano que queremos passa pela origem, o ponto (0, 0, 0) deve satisfazer a equação do plano. Vamos substituir
,
e
na equação geral:
Portanto,
.
Passo 5
Com o vetor normal
e
, podemos escrever a equação do plano paralelo que passa pela origem:
Resposta
A equação do plano é
.