(3-3) Find an equation of the plane.
27. The plane through the origin and parallel to the plane 2x - y + 3z = 1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pela origem (ponto (0, 0, 0)) e que é paralelo ao plano dado pela equação . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano dado. O vetor normal é um vetor que é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Na equação geral de um plano , os coeficientes , e correspondem aos componentes do vetor normal.
No nosso caso, o plano dado é . Aqui, os coeficientes são:
Então, o vetor normal do plano é .

Passo 3

Como queremos um plano que seja paralelo ao plano dado, ele deve ter o mesmo vetor normal. Portanto, o vetor normal do nosso novo plano também será .
A forma geral da equação de um plano é:
Onde são os componentes do vetor normal e é a distância do plano em relação à origem.

Passo 4

Como o plano que queremos passa pela origem, o ponto (0, 0, 0) deve satisfazer a equação do plano. Vamos substituir , e na equação geral:
Portanto, .

Passo 5

Com o vetor normal e , podemos escrever a equação do plano paralelo que passa pela origem:

Resposta

A equação do plano é .

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