1. integral0^0,2 11+x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que não têm uma antiderivada simples. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais e um pouco de álgebra para decompôr a função antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador 1 + x^4 = (x^2 + raiz2x + 1)(x^2 - raiz2x + 1) . Para facilitar a integração, precisamos fatorar esse polinômio. Sabemos que pode ser fatorado usando identidades de fatoração especiais:
Isso ajuda a simplificar a fração para que possamos aplicar frações parciais.

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a função integranda como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes 11 + x^4 = A x + Bx^2 + raiz2x + 1 + -A x + Bx^2 - raiz2x + 1 e tais que:
Essa decomposição nos permite separar a integral em partes mais simples para integrar.

Passo 4

Vamos resolver para 1 = (A x + B)(x^2 - raiz2x + 1) + (-A x + B)(x^2 + raiz2x + 1) e . Multiplicando ambos os lados pela expressão fatorada , obtemos:
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos que e .

Passo 5

Substituindo 11 + x^4 = raiz24x + 12x^2 + raiz2x + 1 + -raiz24x + 12x^2 - raiz2x + 1 e de volta na expressão das frações parciais, temos:
Agora, podemos integrar cada parte separadamente. As integrais resultantes são do tipo , que sabemos que é .

Resposta

Após resolver todas as integrais, o valor da integral definida é aproximadamente .

Exercícios relacionados