Qual o máximo e o mínimo assumidos pela função ? (Sugestão: Encontre número real e ângulo tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos descobrir qual é o valor máximo e o mínimo que essa função pode assumir. Para resolver isso, vamos usar um lance de trigonometria que nos ajuda a reescrever a combinação de cosseno e seno em uma forma mais fácil de lidar. Isso envolve encontrar um número real e um ângulo tal que possa ser escrito como . Assim, vamos precisar usar a identidade trigonométrica da soma de ângulos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever na forma . Sabemos que:
Comparando com , temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar . Para isso, usamos o teorema de Pitágoras:
Então, .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o ângulo . Podemos usar as relações:
Isso significa que está no terceiro quadrante, pois tanto o cosseno quanto o seno são negativos.

Passo 5

Agora, substituímos por . Assim, a função original fica:

Passo 6

Sabemos que a função cosseno varia entre -1 e 1. Então, varia entre -5 e 5. Portanto:
í
á

Resposta

O máximo da função é 7 e o mínimo é -3.

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