Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área de uma superfície específica. A matéria envolvida aqui é o cálculo de áreas de superfícies paramétricas, usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, determinar os limites de integração e aplicar a fórmula da área de uma superfície paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da pseudoesfera dada:
com e . Essa parametrização nos descreve a posição de cada ponto na superfície em termos dos parâmetros e .
Passo 3
Agora, vamos entender os limites da nossa superfície. A superfície está definida entre os planos e . Precisamos encontrar os valores de que correspondem a esses planos. Substituindo na parametrização:
Precisamos resolver para e para encontrar os limites de .
Passo 4
Para calcular a área da superfície paramétrica, usamos a fórmula:
onde é a região dos parâmetros e que mapeiam para a parte da superfície entre e .
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Em seguida, calculamos o produto vetorial dessas derivadas.
Passo 6
Depois de encontrar o produto vetorial, calculamos seu módulo para obter o elemento de área. A integral dupla então será avaliada sobre os limites de de a e os limites de correspondentes aos planos e .
Passo 7
Finalmente, resolvemos a integral dupla para encontrar a área total da superfície. Após os cálculos, chegamos ao resultado aproximado de .