Encontre a área das superfícies.
© Da pseudoesfera definida por , onde e , definida entre os planos e
Anton 8ed exer 15.4.53
Sol.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área de uma superfície específica. A matéria envolvida aqui é o cálculo de áreas de superfícies paramétricas, usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, determinar os limites de integração e aplicar a fórmula da área de uma superfície paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da pseudoesfera dada:
com e . Essa parametrização nos descreve a posição de cada ponto na superfície em termos dos parâmetros e .

Passo 3

Agora, vamos entender os limites da nossa superfície. A superfície está definida entre os planos e . Precisamos encontrar os valores de que correspondem a esses planos. Substituindo na parametrização:
Precisamos resolver para e para encontrar os limites de .

Passo 4

Para calcular a área da superfície paramétrica, usamos a fórmula:
Á
onde é a região dos parâmetros e que mapeiam para a parte da superfície entre e .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Em seguida, calculamos o produto vetorial dessas derivadas.

Passo 6

Depois de encontrar o produto vetorial, calculamos seu módulo para obter o elemento de área. A integral dupla então será avaliada sobre os limites de de a e os limites de correspondentes aos planos e .

Passo 7

Finalmente, resolvemos a integral dupla para encontrar a área total da superfície. Após os cálculos, chegamos ao resultado aproximado de .

Resposta

A área da superfície definida é aproximadamente .

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Thomas 12ed exer 16.5.25
Sol.
Para cada uma das funções, determine seu maior domínio de definição:
а)
Calcule as integrais abaixo.
(g) .