Encontre a área das superfícies.
© Da pseudoesfera definida por r(u, v) = cos(u) sen(v) i + sen(u) sen(v) j + cos(v) ln(tan(v/2)) k, onde 0 <= u <= 2 pi e 0 < v < pi, definida entre os planos z = -1 e z = 1
Anton 8ed exer 15.4.53
Sol. 9.099

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área de uma superfície específica. A matéria envolvida aqui é o cálculo de áreas de superfícies paramétricas, usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, determinar os limites de integração e aplicar a fórmula da área de uma superfície paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da pseudoesfera dada:
com e . Essa parametrização nos descreve a posição de cada ponto na superfície em termos dos parâmetros e .

Passo 3

Agora, vamos entender os limites da nossa superfície. A superfície está definida entre os planos e . Precisamos encontrar os valores de que correspondem a esses planos. Substituindo na parametrização:
Precisamos resolver para e para encontrar os limites de .

Passo 4

Para calcular a área da superfície paramétrica, usamos a fórmula:
Á
onde é a região dos parâmetros e que mapeiam para a parte da superfície entre e .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Em seguida, calculamos o produto vetorial dessas derivadas.

Passo 6

Depois de encontrar o produto vetorial, calculamos seu módulo para obter o elemento de área. A integral dupla então será avaliada sobre os limites de de a e os limites de correspondentes aos planos e .

Passo 7

Finalmente, resolvemos a integral dupla para encontrar a área total da superfície. Após os cálculos, chegamos ao resultado aproximado de .

Resposta

A área da superfície definida é aproximadamente .

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