Encontre a área das superfícies.
(j) A porção inferior da esfera cortada pelo cone
Thomas 12ed exer 16.5.25
Sol.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da porção inferior da esfera que é cortada pelo cone . Aqui, trabalharemos com geometria espacial e cálculo de áreas de superfícies. Precisaremos usar coordenadas esféricas e integrar para achar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a interseção entre a esfera e o cone. Substituindo da equação do cone na da esfera:
Isso nos mostra que a interseção ocorre no círculo .

Passo 3

Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Na esfera , o raio é 2. Em coordenadas esféricas, e . O cone fica, em coordenadas esféricas:

Passo 4

A área superficial em coordenadas esféricas é dada por:
Como estamos calculando a porção inferior da esfera cortada pelo cone, varia de até (o inferior da esfera). varia de 0 a .

Passo 5

Vamos integrar primeiro em :
Agora, integramos em :

Passo 6

Multiplicando as integrações:
Substituindo :

Passo 7

No entanto, estamos considerando apenas a porção inferior cortada pelo cone, então precisamos ajustar a resposta:

Resposta

A área da porção inferior da esfera cortada pelo cone é .

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Sol.