Encontre a área das superfícies.
(j) A porção inferior da esfera
cortada pelo cone
Thomas 12ed exer 16.5.25
Sol.
(j) A porção inferior da esfera
Thomas 12ed exer 16.5.25
Sol.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da porção inferior da esfera
que é cortada pelo cone
. Aqui, trabalharemos com geometria espacial e cálculo de áreas de superfícies. Precisaremos usar coordenadas esféricas e integrar para achar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a interseção entre a esfera e o cone. Substituindo
da equação do cone na da esfera:
Isso nos mostra que a interseção ocorre no círculo
.
Passo 3
Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Na esfera
, o raio
é 2. Em coordenadas esféricas,
e
. O cone
fica, em coordenadas esféricas:
Passo 4
A área superficial em coordenadas esféricas é dada por:
Como estamos calculando a porção inferior da esfera cortada pelo cone,
varia de
até
(o inferior da esfera).
varia de 0 a
.
Passo 5
Vamos integrar primeiro em
:
Agora, integramos em
:
Passo 6
Multiplicando as integrações:
Substituindo
:
Passo 7
No entanto, estamos considerando apenas a porção inferior cortada pelo cone, então precisamos ajustar a resposta:
Resposta
A área da porção inferior da esfera cortada pelo cone é
.
Exercícios relacionados
Qual o máximo e o mínimo assumidos pela função
? (Sugestão: Encontre número real
e ângulo
tal que
.
Encontre a área das superfícies.
© Da pseudoesfera definida por
, onde
e
, definida entre os planos
e
Anton 8ed exer 15.4.53
Sol.
© Da pseudoesfera definida por
Anton 8ed exer 15.4.53
Sol.