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partial fpartial x=1x+y, partial fpartial y=1x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas derivadas parciais de uma função partial fpartial x = 1x + y, partial fpartial y = 1x + y :
O conteúdo que vamos precisar aqui é cálculo diferencial, especificamente integração de derivadas parciais para encontrar a função original .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a primeira derivada parcial em relação a partial fpartial x = 1x + y para encontrar uma expressão para f(x, y) = integral 1x + y , dx = ln|x + y| + g(y) . A equação é:
Para integrar isso, tratamos como uma constante:
Aqui, é uma função de que surge por causa da integração.

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda derivada parcial para encontrar partial fpartial y = 1x + y . Sabemos que:
f(x, y) = ln|x + y| + g(y)
E também temos a expressão de partial fpartial y = 1x + y + g'(y) que acabamos de encontrar:
1x + y + g'(y) = 1x + y
Vamos derivar essa expressão em relação a g'(y) = 0 :
g(y) = C
Igualando às duas expressões para :
Isso simplifica para:
Integrando em relação a , obtemos:
onde é uma constante.

Passo 4

Agora que encontramos f(x, y) = ln|x + y| + C , podemos substituir de volta na expressão de f(x, y) = ln(x + y) + C :
Como estamos trabalhando com funções contínuas e geralmente positivo, podemos simplificar para:

Resposta

A função f(x, y) = ln(x + y) + C que satisfaz as derivadas parciais dadas é:
onde é uma constante real.

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