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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas derivadas parciais de uma função
:
O conteúdo que vamos precisar aqui é cálculo diferencial, especificamente integração de derivadas parciais para encontrar a função original
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a primeira derivada parcial em relação a
para encontrar uma expressão para
. A equação é:
Para integrar isso, tratamos
como uma constante:
Aqui,
é uma função de
que surge por causa da integração.
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda derivada parcial para encontrar
. Sabemos que:
E também temos a expressão de
que acabamos de encontrar:
Vamos derivar essa expressão em relação a
:
Igualando às duas expressões para
:
Isso simplifica para:
Integrando
em relação a
, obtemos:
onde
é uma constante.
Passo 4
Agora que encontramos
, podemos substituir de volta na expressão de
:
Como estamos trabalhando com funções contínuas e
geralmente positivo, podemos simplificar para:
Resposta
A função
que satisfaz as derivadas parciais dadas é:
onde
é uma constante real.