Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre encontrar a área entre curvas. A gente vai trabalhar com duas funções trigonométricas,
e , e também com duas linhas verticais em
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções e entender como determinar a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as regiões que estamos querendo calcular. Temos duas funções:
E duas linhas verticais:
Vamos precisar esboçar o gráfico dessas funções no intervalo de
a
para ver como elas se comportam e identificar qual está por cima da outra nesse intervalo.
Passo 3
Vamos lembrar que:
- A função
começa em 1 quando e vai para valores negativos conforme aumenta no sentido positivo. - A função começa em 0 quando
e aumenta até 1 em .
Mas como estamos trabalhando com valores negativos de
, vamos ajustar nosso pensamento:
-
Para
: -
-
Para
: -
Isso já nos dá uma ideia de como as funções estão posicionadas nesse intervalo.
Passo 4
Vamos determinar qual função está por cima da outra no intervalo de
a
. Para isso, podemos comparar os valores das funções em um ponto intermediário, por exemplo,
:
Aqui,
está acima de . Então, no intervalo todo considerado,
está por cima de .
Passo 5
Agora, para encontrar a área entre essas duas curvas entre
e
, usamos a seguinte fórmula de integração:
Onde:
-
é a função que está por cima ( ) -
é a função que está por baixo () -
-
Passo 6
Vamos montar a integral:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, vamos integrar
e separadamente:
Aplicando esses resultados na nossa integral:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Primeiro, para
:
Então:
Agora, para
:
Então:
Passo 9
Subtraindo os valores obtidos nos limites:
Resposta
A área delimitada pelas funções
, ,
e
é:
Exercícios relacionados
Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e encontre o volume dos sólidos de revolução ao redor do eixo (curva) indicada:
(a) , gira em torno do eixo x , Resp:
.
(a)
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial:
Calcule a inversa das funções abaixo (considere que são funções de
em
, exceto o item e) ).
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)