Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(d) y = cos(x), y = sen(x), x = -pi / 2, x = -pi / 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre encontrar a área entre curvas. A gente vai trabalhar com duas funções trigonométricas, e , e também com duas linhas verticais em e . Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções e entender como determinar a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as regiões que estamos querendo calcular. Temos duas funções:
E duas linhas verticais:
Vamos precisar esboçar o gráfico dessas funções no intervalo de a para ver como elas se comportam e identificar qual está por cima da outra nesse intervalo.

Passo 3

Vamos lembrar que:
  • A função começa em 1 quando e vai para valores negativos conforme aumenta no sentido positivo.
  • A função começa em 0 quando e aumenta até 1 em .
Mas como estamos trabalhando com valores negativos de , vamos ajustar nosso pensamento:
  • Para :
  • Para :
Isso já nos dá uma ideia de como as funções estão posicionadas nesse intervalo.

Passo 4

Vamos determinar qual função está por cima da outra no intervalo de a . Para isso, podemos comparar os valores das funções em um ponto intermediário, por exemplo, :
Aqui, está acima de . Então, no intervalo todo considerado, está por cima de .

Passo 5

Agora, para encontrar a área entre essas duas curvas entre e , usamos a seguinte fórmula de integração:
Á
Onde:
  • é a função que está por cima ( )
  • é a função que está por baixo ()

Passo 6

Vamos montar a integral:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, vamos integrar e separadamente:
Aplicando esses resultados na nossa integral:

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Primeiro, para :
Então:
Agora, para :
Então:

Passo 9

Subtraindo os valores obtidos nos limites:
Á

Resposta

A área delimitada pelas funções , , e é:
á

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