Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o rotacional e o divergente do campo vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as fórmulas para calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. onde :
  1. onde :
  1. onde :

Passo 3

Agora, somamos essas derivadas para obter o divergente:

Passo 4

Vamos agora calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. onde :
  1. onde :
  1. onde :
  1. onde :
  1. onde :
  1. onde :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão do rotacional:
Para a componente :
Para a componente :
Para a componente :

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é .

Exercícios relacionados

Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(d)
Calcule a inversa das funções abaixo (considere que são funções de em , exceto o item e) ).
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(e)