Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o rotacional e o divergente do campo vetorial
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as fórmulas para calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
onde :
-
onde :
-
onde :
Passo 3
Agora, somamos essas derivadas para obter o divergente:
Passo 4
Vamos agora calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
-
onde :
-
onde :
-
onde :
-
onde :
-
onde :
-
onde :
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na expressão do rotacional:
Para a componente
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Resposta
O divergente de
é
e o rotacional de
é
.
Exercícios relacionados
Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(d)
(d)
Calcule a inversa das funções abaixo (considere que são funções de
em
, exceto o item e) ).
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(e)
(e)