Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o rotacional e o divergente do campo vetorial
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as fórmulas para calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
onde :
-
onde :
-
onde :
Passo 3
Agora, somamos essas derivadas para obter o divergente:
Passo 4
Vamos agora calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
-
onde :
-
onde :
-
onde :
-
onde :
-
onde :
-
onde :
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na expressão do rotacional:
Para a componente
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Resposta
O divergente de
é
e o rotacional de
é
.