Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e encontre o volume dos sólidos de revolução ao redor do eixo (curva) indicada:
(a)
, gira em torno do eixo x , Resp:
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas funções
,
e
. Depois, vamos descobrir o volume do sólido que forma quando essa região gira ao redor do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. A função
é uma parábola que abre para cima e está deslocada 1 unidade para cima no eixo
. As linhas
e
são linhas verticais que cortam a parábola nesses pontos. Ao esboçar isso, a região que estamos olhando fica entre
e
na parábola.
Passo 3
Agora, para encontrar o volume do sólido de revolução ao redor do eixo
, usamos o método dos discos. A fórmula para o volume
nesse caso é:
Aqui,
, e os limites de integração vão de
até
.
Passo 4
Vamos substituir na fórmula:
Primeiro, precisamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo por termo:
Vamos avaliar essa expressão de
a
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular dentro dos parênteses:
Então, multiplicando por 2:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
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Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(d)
(d)