Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e encontre o volume dos sólidos de revolução ao redor do eixo (curva) indicada:
(a) , gira em torno do eixo x , Resp: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas funções , e . Depois, vamos descobrir o volume do sólido que forma quando essa região gira ao redor do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. A função é uma parábola que abre para cima e está deslocada 1 unidade para cima no eixo . As linhas e são linhas verticais que cortam a parábola nesses pontos. Ao esboçar isso, a região que estamos olhando fica entre e na parábola.

Passo 3

Agora, para encontrar o volume do sólido de revolução ao redor do eixo , usamos o método dos discos. A fórmula para o volume nesse caso é:
Aqui, , e os limites de integração vão de até .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula:
Primeiro, precisamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo por termo:
Vamos avaliar essa expressão de a :
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular dentro dos parênteses:
Então, multiplicando por 2:

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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resto da divisão de por é 0 . Calcule o valor de a.
polinômio dividido por deixa resto - 1 . Neste caso, calcule o valor de .
Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(d)