1. Uma partícula tem um vetor posição dado por r = (30t) i + (40t - 5t^2) j, onde r está em metros e t em segundos. Determine o instante no qual a velocidade da partícula é zero.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula que se move de acordo com o vetor posição r = (30t) i + (40t - 5t^2) j, onde t é o tempo em segundos e r está em metros. O objetivo aqui é descobrir em que instante a velocidade dessa partícula é zero. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente a relação entre posição e velocidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente do vetor posição r em relação a t para encontrar o vetor velocidade v.

Passo 3

Vamos derivar a componente na direção i:
ddt(30t) = 30
E a componente na direção j:
ddt(40t - 5t^2) = 40 - 10t
Então, o vetor velocidade fica:
v = 30i + (40 - 10t)j

Passo 4

Queremos encontrar o instante em que a velocidade é zero. Isso significa que tanto a componente i quanto a componente j da velocidade devem ser iguais a zero simultaneamente.

Passo 5

Vamos igualar cada componente da velocidade a zero:
Para a componente i:
30 = 0
E para a componente j:
40 - 10t = 0

Passo 6

Olha só, a primeira equação 30 = 0 não tem solução, porque 30 nunca será igual a zero. Isso indica que a componente i da velocidade nunca será zero. Portanto, a velocidade total da partícula nunca será zero em nenhum instante de tempo.

Resposta

Não existe nenhum instante em que a velocidade da partícula seja zero.

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