1. Uma bola é lançada verticalmente para cima, do solo, com velocidade inicial de 15 m/s. (a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima? (b) Qual é a altura máxima atingida pela bola? © Determine a velocidade e a aceleração da bola em t = 2,0 s. (d) Determine a velocidade e a aceleração da bola quando sua coordenada de posição é 8,0 m. (e) Determine a velocidade e a aceleração da bola imediatamente antes de ela tocar o solo. (Despreze a resistência do ar.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata do lançamento vertical de um projétil, que é um assunto de cinemática. Para resolver as partes (a) a (e), vamos precisar das fórmulas de movimento uniforme variado, principalmente aquelas que envolvem a aceleração da gravidade. Vamos lá?

Passo 2

Parte (a): Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima?

Primeiro, sabemos que quando a bola atinge a altura máxima, sua velocidade final é zero. Usamos a fórmula da velocidade no movimento uniformemente variado:
Onde:
  • é a velocidade final (que será 0 m/s na altura máxima)
  • é a velocidade inicial (15 m/s para cima)
  • é a aceleração (aqui, a aceleração da gravidade, que é pois está para baixo)
  • é o tempo
Vamos isolar :

Passo 3

Parte (b): Qual é a altura máxima atingida pela bola?

Para encontrar a altura máxima, usamos a fórmula da posição no movimento uniformemente variado:
Aqui:
  • é a posição inicial (0 m, já que é lançada do solo)
  • é a velocidade inicial (15 m/s)
  • é a aceleração ( )
  • é o tempo que calculamos na parte (a), aproximadamente 1,53 s
Substituindo os valores:

Passo 4

Parte ©: Determine a velocidade e a aceleração da bola em .

Velocidade:
Usamos novamente a fórmula da velocidade:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.
Aceleração:
A aceleração da bola é constante e igual à aceleração da gravidade:

Passo 5

Parte (d): Determine a velocidade e a aceleração da bola quando sua coordenada de posição é 8,0 m.

Aceleração:
Independe da posição, então continua:
Velocidade:
Primeiro, usamos a fórmula da posição para encontrar o tempo quando :
Resolvemos a equação quadrática para :
Assim, temos duas soluções:
  1. (descida)
  2. (subida)
Calculamos a velocidade para cada tempo:
Para :
Para :

Passo 6

Parte (e): Determine a velocidade e a aceleração da bola imediatamente antes de ela tocar o solo.

Aceleração:
Como sempre, a aceleração continua sendo:
Velocidade:
Quando a bola toca o solo, a posição . Vamos usar a fórmula da velocidade que relaciona a posição inicial e final:
Mas precisamos considerar a direção. Como a bola está descendo, a velocidade é negativa:

Resposta

a) O tempo para atingir a altura máxima é aproximadamente 1,53 segundos.
b) A altura máxima atingida pela bola é de aproximadamente 11,48 metros.
c) Em :
  • Velocidade: (para baixo)
  • Aceleração:
d) Quando a posição é :
  • Durante a subida ( ):
    • Velocidade: (para cima)
    • Aceleração:
  • Durante a descida ( ):
    • Velocidade: (para baixo)
    • Aceleração:
e) Imediatamente antes de tocar o solo:
  • Velocidade: (para baixo)
  • Aceleração:

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