1. Uma bola é lançada verticalmente para cima, do solo, com velocidade inicial de 15 m/s. (a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima? (b) Qual é a altura máxima atingida pela bola? © Determine a velocidade e a aceleração da bola em t = 2,0 s. (d) Determine a velocidade e a aceleração da bola quando sua coordenada de posição é 8,0 m. (e) Determine a velocidade e a aceleração da bola imediatamente antes de ela tocar o solo. (Despreze a resistência do ar.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata do lançamento vertical de um projétil, que é um assunto de cinemática. Para resolver as partes (a) a (e), vamos precisar das fórmulas de movimento uniforme variado, principalmente aquelas que envolvem a aceleração da gravidade. Vamos lá?

Passo 2

Parte (a): Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima?

Primeiro, sabemos que quando a bola atinge a altura máxima, sua velocidade final é zero. Usamos a fórmula da velocidade no movimento uniformemente variado:
v = v0 + a cdot t
Onde:
  • 0 = 15 , m/s - 9,8 , m/s^2 cdot t 9,8 , m/s^2 cdot t = 15 , m/s t = 15 , m/s9,8 , m/s^2 approx 1,53 , s é a velocidade final (que será 0 m/s na altura máxima)
  • é a velocidade inicial (15 m/s para cima)
  • é a aceleração (aqui, a aceleração da gravidade, que é pois está para baixo)
  • é o tempo
Vamos isolar :

Passo 3

Parte (b): Qual é a altura máxima atingida pela bola?

Para encontrar a altura máxima, usamos a fórmula da posição no movimento uniformemente variado:
s = s0 + v0 cdot t + 12 a cdot t^2
Aqui:
  • s = 0 + 15 , m/s cdot 1,53 , s + 12 cdot (-9,8 , m/s^2) cdot (1,53 , s)^2 s = 22,95 , m - 12 cdot 9,8 , m/s^2 cdot 2,34 , s^2 s = 22,95 , m - 11,47 , m s approx 11,48 , m é a posição inicial (0 m, já que é lançada do solo)
  • é a velocidade inicial (15 m/s)
  • é a aceleração ( )
  • é o tempo que calculamos na parte (a), aproximadamente 1,53 s
Substituindo os valores:

Passo 4

Parte ©: Determine a velocidade e a aceleração da bola em v = v0 + a cdot t v = 15 , m/s - 9,8 , m/s^2 cdot 2,0 , s v = 15 , m/s - 19,6 , m/s v = -4,6 , m/s .

Velocidade:
Usamos novamente a fórmula da velocidade:
a = -9,8 , m/s^2
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.
Aceleração:
A aceleração da bola é constante e igual à aceleração da gravidade:

Passo 5

Parte (d): Determine a velocidade e a aceleração da bola quando sua coordenada de posição é 8,0 m.

Aceleração:
Independe da posição, então continua:
a = -9,8 , m/s^2
Velocidade:
Primeiro, usamos a fórmula da posição para encontrar o tempo quando s = v0 cdot t + 12 a cdot t^2 8 = 15t - 4,9 t^2 4,9 t^2 - 15t + 8 = 0 :
t = 15 pm raiz225 - 156,89,8 t = 15 pm raiz68,29,8 t approx 15 pm 8,269,8
Resolvemos a equação quadrática para v = 15 - 9,8 cdot 0,69 approx 15 - 6,76 approx 8,24 , m/s , (subindo) :
v = 15 - 9,8 cdot 2,37 approx 15 - 23,26 approx -8,26 , m/s , (descendo)
Assim, temos duas soluções:
  1. (descida)
  2. (subida)
Calculamos a velocidade para cada tempo:
Para :
Para :

Passo 6

Parte (e): Determine a velocidade e a aceleração da bola imediatamente antes de ela tocar o solo.

Aceleração:
Como sempre, a aceleração continua sendo:
a = -9,8 , m/s^2
Velocidade:
Quando a bola toca o solo, a posição v^2 = v0^2 + 2a(s - s0) v^2 = 15^2 + 2 cdot (-9,8) cdot (0 - 0) v^2 = 225 + 0 v = raiz225 v = 15 , m/s . Vamos usar a fórmula da velocidade que relaciona a posição inicial e final:
v = -15 , m/s
Mas precisamos considerar a direção. Como a bola está descendo, a velocidade é negativa:

Resposta

a) O tempo para atingir a altura máxima é aproximadamente 1,53 segundos.
b) A altura máxima atingida pela bola é de aproximadamente 11,48 metros.
c) Em :
  • Velocidade: (para baixo)
  • Aceleração:
d) Quando a posição é :
  • Durante a subida ( ):
    • Velocidade: (para cima)
    • Aceleração:
  • Durante a descida ( ):
    • Velocidade: (para baixo)
    • Aceleração:
e) Imediatamente antes de tocar o solo:
  • Velocidade: (para baixo)
  • Aceleração:

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