- Uma bola é lançada verticalmente para cima, do solo, com velocidade inicial de 15 m/s. (a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima? (b) Qual é a altura máxima atingida pela bola? © Determine a velocidade e a aceleração da bola em t = 2,0 s. (d) Determine a velocidade e a aceleração da bola quando sua coordenada de posição é 8,0 m. (e) Determine a velocidade e a aceleração da bola imediatamente antes de ela tocar o solo. (Despreze a resistência do ar.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata do lançamento vertical de um projétil, que é um assunto de cinemática. Para resolver as partes (a) a (e), vamos precisar das fórmulas de movimento uniforme variado, principalmente aquelas que envolvem a aceleração da gravidade. Vamos lá?
Passo 2
Parte (a): Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima?
Primeiro, sabemos que quando a bola atinge a altura máxima, sua velocidade final é zero. Usamos a fórmula da velocidade no movimento uniformemente variado:
Onde:
-
é a velocidade final (que será 0 m/s na altura máxima) -
é a velocidade inicial (15 m/s para cima) -
é a aceleração (aqui, a aceleração da gravidade, que é pois está para baixo) -
é o tempo
Vamos isolar
:
Passo 3
Parte (b): Qual é a altura máxima atingida pela bola?
Para encontrar a altura máxima, usamos a fórmula da posição no movimento uniformemente variado:
Aqui:
-
é a posição inicial (0 m, já que é lançada do solo) -
é a velocidade inicial (15 m/s) -
é a aceleração ( ) -
é o tempo que calculamos na parte (a), aproximadamente 1,53 s
Substituindo os valores:
Passo 4
Parte ©: Determine a velocidade e a aceleração da bola em
.
Velocidade:
Usamos novamente a fórmula da velocidade:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.
Aceleração:
A aceleração da bola é constante e igual à aceleração da gravidade:
Passo 5
Parte (d): Determine a velocidade e a aceleração da bola quando sua coordenada de posição é 8,0 m.
Aceleração:
Independe da posição, então continua:
Velocidade:
Primeiro, usamos a fórmula da posição para encontrar o tempo quando
:
Resolvemos a equação quadrática para
:
Assim, temos duas soluções:
-
(descida) -
(subida)
Calculamos a velocidade para cada tempo:
Para
:
Para
:
Passo 6
Parte (e): Determine a velocidade e a aceleração da bola imediatamente antes de ela tocar o solo.
Aceleração:
Como sempre, a aceleração continua sendo:
Velocidade:
Quando a bola toca o solo, a posição
. Vamos usar a fórmula da velocidade que relaciona a posição inicial e final:
Mas precisamos considerar a direção. Como a bola está descendo, a velocidade é negativa:
Resposta
a) O tempo para atingir a altura máxima é aproximadamente 1,53 segundos.
b) A altura máxima atingida pela bola é de aproximadamente 11,48 metros.
c) Em
:
- Velocidade:
(para baixo) - Aceleração:
d) Quando a posição é
:
- Durante a subida (
): - Velocidade:
(para cima) - Aceleração:
- Velocidade:
- Durante a descida (
): - Velocidade:
(para baixo) - Aceleração:
- Velocidade:
e) Imediatamente antes de tocar o solo:
- Velocidade:
(para baixo) - Aceleração:
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