Sejam P3=p=a x^2+b x+c mid a, b, c in R, alpha=1+x, x-x^2, 1-2 x-x^2 e beta=1+x^2, x, x+x^2.
(a) Determine [I]alpha^beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para determinar a matriz de mudança de base da identidade, denotada por , onde e são bases para o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, . Para isso, vamos precisar entender como expressar cada polinômio da base na base . Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a matriz . Essa matriz representa como os vetores da base são escritos na base . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de na base .

Passo 3

Vamos listar as bases fornecidas:
  • Base
  • Base
Nosso objetivo é expressar cada vetor da base como combinação linear dos vetores da base .

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor da base 1 + x = c1(1 + x^2) + c2 x + c3(x + x^2) , que é c1 cdot 1 + c1 cdot x^2 + c2 cdot x + c3 cdot x + c3 cdot x^2 . Queremos encontrar escalares (c1) + (c2 + c3)x + (c1 + c3)x^2 tais que:
c1 = 1 c2 + c3 = 1 c1 + c3 = 0
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando termos semelhantes:
Agora igualamos aos termos do lado esquerdo :

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação, temos .
  2. Substituindo na terceira equação: .
  3. Substituindo na segunda equação: .
Portanto, os coeficientes são , , .

Passo 6

Agora, vamos para o segundo vetor da base x - x^2 = c1(1 + x^2) + c2 x + c3(x + x^2) , que é (c1) + (c2 + c3)x + (c1 + c3)x^2 = 0 + x - x^2 . Queremos encontrar c1 = 0 c2 + c3 = 1 c1 + c3 = -1 tais que:
Explicando passo a passo, igualamos os coeficientes:
Isso nos dá o sistema:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, .
  2. Substituindo na terceira equação: .
  3. Substituindo na segunda equação: .
Então, , , .

Passo 8

Por fim, vamos para o terceiro vetor da base 1 - 2x - x^2 = c1(1 + x^2) + c2 x + c3(x + x^2) , que é (c1) + (c2 + c3)x + (c1 + c3)x^2 = 1 - 2x - x^2 . Encontramos c1 = 1 c2 + c3 = -2 c1 + c3 = -1 tal que:
Expandindo e agrupando termos:
Desse modo, temos:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, .
  2. Substituindo na terceira equação: .
  3. Substituindo na segunda equação: .
Portanto, , , .

Resposta

A matriz de mudança de base [I]alpha^beta = 1 & 0 & 1 2 & 2 & 0 -1 & -1 & -2 é:

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