Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para determinar a matriz de mudança de base da identidade, denotada por , onde e são bases para o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, . Para isso, vamos precisar entender como expressar cada polinômio da base na base . Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a matriz . Essa matriz representa como os vetores da base são escritos na base . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de na base .
Passo 3
Vamos listar as bases fornecidas:
Base
Base
Nosso objetivo é expressar cada vetor da base como combinação linear dos vetores da base .
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor da base , que é . Queremos encontrar escalares tais que:
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando termos semelhantes:
Agora igualamos aos termos do lado esquerdo :
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, temos .
Substituindo na terceira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Portanto, os coeficientes são , , .
Passo 6
Agora, vamos para o segundo vetor da base x - x^2 = c1(1 + x^2) + c2 x + c3(x + x^2) , que é (c1) + (c2 + c3)x + (c1 + c3)x^2 = 0 + x - x^2 . Queremos encontrar c1 = 0 c2 + c3 = 1 c1 + c3 = -1 tais que:
Explicando passo a passo, igualamos os coeficientes:
Isso nos dá o sistema:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na terceira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Então, , , .
Passo 8
Por fim, vamos para o terceiro vetor da base 1 - 2x - x^2 = c1(1 + x^2) + c2 x + c3(x + x^2) , que é (c1) + (c2 + c3)x + (c1 + c3)x^2 = 1 - 2x - x^2 . Encontramos c1 = 1 c2 + c3 = -2 c1 + c3 = -1 tal que:
Expandindo e agrupando termos:
Desse modo, temos:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na terceira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Portanto, , , .
Resposta
A matriz de mudança de base [I]alpha^beta = 1 & 0 & 1 2 & 2 & 0 -1 & -1 & -2 é: