1. f'(x) = (ln x)^x * (x^(ln x)) * (1/ln x + ln(ln x) + 2 ln x / x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a derivada de uma função, que é dada por:
O conteúdo envolvido aqui é cálculo, especificamente derivadas de funções que têm expressões mais complicadas envolvendo logaritmos e potências. Para resolver isso, vamos precisar simplificar essa expressão usando propriedades de logaritmos e potências para deixar a derivada mais clara.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos que estão sendo multiplicados. Temos três partes principais:
Vamos tentar simplificar as duas primeiras partes multiplicadas juntas.

Passo 3

Vamos simplificar .
Lembre-se que pode ser reescrito se houver uma relação entre e . Aqui, temos:
Mas isso ainda está complicado. Vamos tentar outra abordagem usando propriedades de potências:
Sabemos que , então:
Multiplicando essas duas expressões:
Isso nos dá uma única exponencial, mas não simplifica muito. Vamos manter as partes separadas para facilitar a visualização.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a terceira parte da expressão:
Podemos tentar combinar esses termos, mas eles têm denominadores diferentes e funções logarítmicas distintas, então não há uma simplificação direta possível aqui. Vamos então manter essa parte como está.

Passo 5

Combinando tudo, a expressão da derivada permanece:
Caso queiramos fatorar ou rearranjar de alguma forma, mas sem simplificações adicionais, essa é a forma mais clara da derivada.

Resposta

A derivada simplificada de é:

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