Derive as funções dos exercícios 25 . a 27 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para derivar a função
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções que envolvem exponenciais e funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções da forma
, onde tanto a base quanto o expoente são funções de
.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que para derivar uma função da forma
, usamos a seguinte regra:
No nosso caso, a base é
e o expoente é
. Porém, a base também depende de
, então precisamos usar uma técnica chamada logaritmo natural para simplificar a derivação.
Passo 3
Vamos começar aplicando o logaritmo natural nos dois lados da função para facilitar a derivação:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos reescrever:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
. Então:
Onde usamos que
e
.
Passo 6
Agora, substituímos de volta na equação da derivada:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Se
, encontre:
Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)