Derive as funções dos exercícios 25 . a 27 .
f(x) = x^(cosh x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para derivar a função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções que envolvem exponenciais e funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções da forma , onde tanto a base quanto o expoente são funções de .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que para derivar uma função da forma , usamos a seguinte regra:
No nosso caso, a base é e o expoente é . Porém, a base também depende de , então precisamos usar uma técnica chamada logaritmo natural para simplificar a derivação.

Passo 3

Vamos começar aplicando o logaritmo natural nos dois lados da função para facilitar a derivação:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos reescrever:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é:

Passo 5

Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e . Então:
Onde usamos que e .

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação da derivada:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Se senh(x) = -1/4, encontre:
cosh(x) tanh(x) senh(2x)
Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
ln(raiz(x + 1) / (x - 1)^3)
  1. f'(x) = (2*x^2 + 1) / (x * (x^2 + 1))
  1. f'(x) = (ln x)^x * (x^(ln x)) * (1/ln x + ln(ln x) + 2 ln x / x)