1. f'(x) = (2*x^2 + 1) / (x * (x^2 + 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a derivada de uma função, . Nosso objetivo aqui é encontrar a função original . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é o processo inverso da diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da derivada para facilitar a integração. Podemos decompor a fração utilizando frações parciais, que nos ajuda a separar a expressão em termos mais simples para integrar.
A expressão é:
Vamos escrever isso como:
onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de , e :
Multiplicamos ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Comparando os coeficientes de ambos os lados:
Resolvendo, temos , e .
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A integração de é .
Para , fazemos uma substituição simples: deixe , então , ou seja, . Assim, a integral fica .

Passo 5

Juntando as integrais, temos:
onde é a constante de integração.

Resposta

A função original é:

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